Question

15．如图所示，离水平地面高h=5m、长L=3.4m的水平传送带以v=2m/s的速度顺时针转动．质量分别为1kg、1.5kg的小物块A、B（均可视为质点）由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳相连．现将B轻轻放在传送带的左端（B与定滑轮间的绳水平伸直，A与滑轮间的绳竖直伸直），当B运动到传送带的右端时因绳突然断掉而做平抛运动．B与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，传送带由电动机带动，与滚轮间无相对滑动，轮轴处的摩擦不计，滑轮质量和摩擦也不计，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A上升的最大高度H；
（2）B从开始运动到落地前经历的时间t及刚落地时的速率v_B；
（3）B在传送带上运动的过程中电动机的平均输出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出A先做匀加速直线运动的加速度，结合速度位移公式求出匀加速直线 运动的位移，从而得出匀速运动的位移，结合速度位移公式求出绳子断裂后，A继续上升的高度，从而得出A上升的最大高度．
（2）B先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后做平抛运动，根据运动学公式分别求出各段过程的运动时间，从而得出总时间．根据平行四边形定则求出B刚落地的速度．
（3）根据在滑动摩擦力和静摩擦力作用下的位移，求出摩擦力做功的大小，结合平均功率的大小求出该过程中电动机的平均输出功率．

解答 解：（1）B受到的滑动摩擦力f₁=μm_Bg=0.8×15N=12N＞m_Ag=10N，开始时B水平向右做匀加速运动，A竖直向上做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
对A，T-m_Ag=m_Aa₁
对B，f₁-T=m_Ba₁
代入数据联立解得a₁=0.8m/s²
对B，由v²=2a₁s₁
代入数据解得s₁=2.5m
此时A匀加速上升s₁=2.5m，由于s₁＜L且f₁＞m_Ag，B在运动s₁=2.5m后将随传送带水平向右匀速运动，A匀速上升s₂=L-s₁=3.4-2.5m=0.9m，
绳突然断掉后，对A，由v²=2gs₃
解得A向上匀减速直线运动的位移${s}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{4}{20}m=0.2m$，
得H=s₁+s₂+s₃=2.5+0.9+0.2m=3.6m．
（2）B做匀加速直线运动的过程有v=a₁t₁，
匀加速直线运动的时间t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{0.8}s=2.5s$，
做匀速直线运动的过程有s₂=vt₂，
匀速运动的时间t₂=$\frac{{s}_{2}}{v}=\frac{0.9}{2}s$=0.45s
做平抛运动的过程有h=$\frac{1}{2}$g${t}_{3}^{2}$，
则平抛运动的时间t₃=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}s$=1s，
B从开始运动到落地经历的时间t=t₁+t₂+t₃=2.5+0.45+1s=3.95s．
刚落地时的速率v_B=$\sqrt{{v}^{2}+（g{t}_{3}）^{2}}$=$\sqrt{4+100}$=2$\sqrt{26}$ m/s
（3）B在传送带上做匀加速运动的过程中，传送带克服滑动摩擦力做的功为W₁=f₁vt₁
B在传送带上做匀速运动的过程中，传送带受到的静摩擦力为f₂=m_Ag
传送带克服静摩擦力做的功为W₂=f₂s₂
电动机的平均输出功率$\overline{P}=\frac{{W}_{1}+{W}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}$
代入数据解得$\overline{P}$≈23.39W．
答：（1）A上升的最大高度H为3.6m；
（2）B从开始运动到落地前经历的时间t为3.95s，刚落地时的速率为2$\sqrt{26}$ m/s；
（3）B在传送带上运动的过程中电动机的平均输出功率$\overline{P}$为23.39W．

点评 解决本题的关键理清A、B在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道B在传送带上先受到滑动摩擦力，然后受静摩擦力．