Question

8．如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面），O为圆心．在柱形区域内加一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿图中直径从圆上的A点射入柱形区域，在圆上的D点离开该区域，已知图中θ=120°，现将磁场换为竖直向下的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直径从A点射入柱形区域，也在D点离开该区域．若磁感应强度大小为B，不计重力，试求：
（1）电场强度E的大小；
（2）经磁场从A到D的时间与经电场从A到D的时间之比．

Answer 1

分析 （1）利用几何关系求出粒子的半径，分别写在电场中运动的水平、竖直的运动方程、在磁场中的向心力方程，联立可求解E；
（2）用圆周运动的周期公式和平抛的竖直分运动公式来分别求解时间，再作比．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动．设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  
由几何关系得：r=$\sqrt{3}R$；
再考虑粒子在电场中的运动．设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动．设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得：qE=ma
由运动学公式得 $\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由几何关系如图，水平位移为：AC=AO+OC=R+Rcos∠COD=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$；
水平方向作匀速直线运动，有：$\frac{3}{2}$R=vt  
  式中t是粒子在电场中运动的时间．联立各式得：E=$\frac{8\sqrt{3}}{3}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
  （2）由以上各式解得在电场中的运动时间为t=$\frac{3m}{4qB}$；$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$
     在磁场中运动时间t′=$\frac{πm}{3qB}$；
   所以$\frac{t′}{t}=\frac{4π}{9}$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{16\sqrt{3}}{9}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
    （2）经磁场从A到D的时间与经电场从A到D的时间之比为$\frac{4π}{9}$．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，在电场中关键是两个方向的运动分析，在磁场中关键是“找圆心、画轨迹、求半径、算周期”．本题计算量较大，难度较高．