Question

2．如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，0P为分界线，与x轴夹角为37°，在区域a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标为（4L，3L）．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点0，不计粒子重力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）粒子能从P点到O点最大速度为多少？
（2）粒子从P点到0点可能需要多长时间？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，根据左手定则判断洛伦兹力方向，画出粒子运动的轨迹，当粒子速度最大时，半径最大，在磁场中运动轨迹正好运动两端弧回到O点，根据几何关及圆周半径，可以求出最大速度
（2）粒子在磁场中速度较小时，它的轨迹会重复若干次再回到0点，求出一个周期时间，P到O时间是周期整数倍．

解答 解：（1）根据洛兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得半径为：$R=\frac{mv}{qB}$
a区域的半径为：${R}_{a}^{\;}=\frac{mv}{2qB}$…①
b区域半径为：${R}_{b}^{\;}=\frac{mv}{qB}$…②
速度最大时，粒子在a、b区域半径最大，运动两段圆弧后到达原点，根据几何关系有：
$2{R}_{a}^{\;}cosα+2{R}_{b}^{\;}cosα=OP$…③
$tanα=\frac{3L}{4L}=\frac{3}{4}$，
$OP=\sqrt{（3L）_{\;}^{2}+（4L）_{\;}^{2}}=5L$…④
联立①②③④得：$v=\frac{25πqBL}{12m}$
（2）粒子在磁场a、b中做圆周运动，当速度较小时，可能重复n次回到O点，一个周期内两段圆弧对应的圆心角相等
$tanα=\frac{3}{4}$，α=37°，
每段圆弧对应的圆心角为：180-2α=106°
$t=n（\frac{106°}{360°}{T}_{a}^{\;}+\frac{106°}{360°}{T}_{b}^{\;}）$=$n（\frac{106°}{360°}\frac{2πm}{q2B}+\frac{106°}{360°}\frac{2πm}{qB}）$=$\frac{59πm}{60qB}$
答：（1）粒子能从P点到O点最大速度为$\frac{25πqBL}{12m}$
（2）粒子从P点到0点可能需要时间为$\frac{59πm}{60qB}$

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，在解题时要注意认真审题，明确题意才能利用圆周运动规律解题，分析清楚粒子的运动过程是正确解题的关键．