Question

4．如图所示为某一仪器的部分原理示意图，虚线OA、OB关于y轴对称，∠AOB=90°，OA、OB将xOy平面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅲ内存在水平方向的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反．带电粒子自x轴上的粒子源P处以速度v₀沿y轴正方向射出，经时间t到达OA上的M点，且此时速度与OA垂直．不计粒子的重力．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）为使粒子能从M点经Ⅱ区域通过OB上的N点，M、N点关于y轴对称，可在区域Ⅱ内加一垂直xOy平面的匀强磁场，求该磁场的磁感应强度的最小值和粒子经过区域Ⅲ到达x轴上Q点的横坐标；
（3）当匀强磁场的磁感应强度取（2）问中的最 小值时，且该磁场仅分布在一个圆形区域内．由于某种原因的影响，粒子经过M点时的速度并不严格与OA垂直，成散射状，散射角为θ，但速度大小均相同，如图所示，求所有粒子经过OB时的区域长度．

Answer 1

分析 （1）粒子在Ⅰ区域做类平抛运动，将运动分解，即可求得电场强度．
（2）使粒子通过N点且磁感应强度最小，则粒子在Ⅱ内做匀速圆周运动半径R=OM，粒子经N点后进入Ⅲ区域，做匀变速曲线运运动，由运动分解知识求得到达x轴上Q点的横坐标．
（3）该圆形磁场区域的半径r等于其轨迹圆半径R，分别作出两边缘状态的轨迹图，由几何关系求解．

解答 解：（1）粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，Lsin45°=v₀t
$\frac{{v}_{0}}{tan45°}=\frac{Eq}{m}t$
$t=\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$
E=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（2）粒子在Ⅱ区域内做匀速圆周运动，其轨道半径r_大=L
又因为$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
$v=\sqrt{2}{v}_{0}$
B_小=$\frac{{\sqrt{2}mv}_{0}}{qL}$
粒子进入Ⅲ区域后，其运动轨迹NQ与PM对称，则
水平位移$x=\frac{{v}_{0}}{2}t$
又$t=\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$
所以$x=\frac{\sqrt{2}}{4}L$${x}_{Q}=\overline{O}\overline{Q}=O\overline{P}=\frac{\sqrt{2}}{2}L+x=\frac{\sqrt{2}}{2}L+\frac{\sqrt{2}}{4}L$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}L$
（3）该圆形磁场区域的半径r等于其轨迹圆半径R，即r=R=L  
所有粒子出磁场时速度方向平行，其落点在直线OB上的GH两点之间，如图
GH=2rsinθ=2Lsinθ  

答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）该磁场的磁感应强度的最小值是$\frac{{\sqrt{2}mv}_{0}}{qL}$，粒子经过区域Ⅲ到达x轴上Q点的横坐标为$\frac{3\sqrt{2}}{4}L$；
（3）所有粒子经过OB时的区域长度2Lsinθ

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，关键理清粒子的运动轨迹，以及运动的情况，结合几何关系进行求解．