Question

20．若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示.$\frac{1}{{T}^{2}}$与ρ的关系图象如图所示，已知万有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．则该图象的斜率约为（　　）

• A． 7×10^-10N•m²/kg²
• B． 7×10^-11N•m²/kg²
• C． 7×10^-12N•m²/kg²
• D． 7×10^-13N•m²/kg²

Answer 1

分析 卫星贴近星球的表面运行时，卫星的轨道半径近似等于星球的半径，卫星圆周运动所需要的向心力由万有引力提供，由此列式，并结合密度公式得到$\frac{1}{{T}^{2}}$与ρ的关系式，再研究图象的斜率．

解答 解：令该星球的半径为R，则星球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
卫星绕星球做匀速圆周运动，由万有引力提供卫星圆周运动的向心力，则有
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
得星球的质量 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
所以星球的密度为 ρ=$\frac{M}{V}$
联立解得 ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
则得 $\frac{1}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{3π}$ρ
由数学知识知，$\frac{1}{{T}^{2}}$与ρ的关系图象斜率 k=$\frac{G}{3π}$=$\frac{6.67×1{0}^{-11}}{3×3.14}$≈7×10^-12N•m²/kg²．
故选：C

点评 熟练掌握利用万有引力定律求得中心天体的质量，知道球的体积公式是正确解题的关键．