Question

17．质量M=1kg的薄木板静止放在水平地面上，质量m=1kg的铁块静止在木板的左端，可视为质点．设最大静摩擦力都等于滑动摩擦力，已知木板与水平地面间的动摩擦因数μ₁=0.05，铁块与木板之间的动摩擦因数μ₂=0.2，取g=10m/s²．现给铁块施加一个水平向右的力F．
（1）若力F恒为 4N，经过时间1s，铁块恰好运动到木板的右端，求木板的长度L；
（2）若力F从零开始逐渐增加，试通过分析与计算，找到铁块在木板上没有掉下来受到的摩擦力f随力F大小变化关系式，并作出其图象．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出铁块和木板的加速度，抓住两者的位移之差等于木板的长度，通过匀变速直线运动的位移时间公式进行求解．
（2）铁块和木板之间的最大静摩擦力为2N，木板与地面间的最大静摩擦力为1N，当拉力小于1N，时，系统不动，铁块所受的摩擦力为静摩擦力，根据平衡求出静摩擦力的大小．当拉力大于1N小于某一值时，M、m系统具有相同的加速度，此时的摩擦力仍然为静摩擦力，根据牛顿第二定律求出静摩擦力的大小，当F大于某一值时，M与m发生相对滑动，此时的摩擦力为滑动摩擦力，根据滑动摩擦力的大小公式求出滑动摩擦力的大小．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，铁块的加速度为：
${a}_{1}=\frac{F-{μ}_{2}mg}{m}=\frac{4-0.2×10}{1}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$
木板的加速度为：
${a}_{2}=\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{1}（M+m）g}{M}$=$\frac{0.2×10-0.05×20}{1}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
根据$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$得：
L=$\frac{1}{2}×（2-1）×1m=0.5m$．
（2））①当F≤μ₁（m+M）g=1N时，系统没有被拉动，静摩擦力与外力成正比，即：
f=F．
②当F＞μ₁（m+M）g=1N时，若M、m相对静止，铁块与木板有相同的加速度a，则：
F-μ₁（m+M）g=（m+M）a
F-f=ma
解得：F=2f-1
此时：f≤μ₂mg=2N，即F≤3N
所以当1N＜F≤3N时，f=$\frac{F}{2}+0.5$N，
③当F大于3N时，M、m发生相对滑动，此时铁块所受的摩擦力为：f=μ₂mg=2N．
f-F的图象如图所示．
答：（1）木板的长度L为0.5m．
（2）f随F的关系图线如图所示．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律进行求解．对于第二问，一定理清铁块和木板间的摩擦力是什么摩擦力．