Question

如图所示，在xoy平面内有一扇形金属框abc，其半径为r，ac边与y轴重合，bc边与x轴重合，且c为坐标原点，ac边与bc边的电阻不计，圆弧ab上单位长度的电阻为R．金属杆MN长度为L，放在金属框abc上，MN与ac边紧邻．磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直并充满平面．现对MN杆施加一个外力（图中未画出），使之以C点为轴顺时针匀速转动，角速度为ω．求：
（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流I与转过的角度θ间的关系；
（2）整个电路消耗电功率的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）先求出电路中产生的感应电动势，然后求出电路总电阻，根据欧姆定律即可求得电流I与转过的角度θ间的关系；
（2）根据题意可知，圆弧总长度rθ+r（

π

2

-θ）是定值，所以，当 rθ=r（

π

2

-θ）时，即θ=

π

4

时，总电阻R_总有最大值．求出总电阻的最大值，然后根据功率的公式求解最小功率．

解答：解：（1）电路中感应电动势 E=

1

2

Bωr²     
金属杆的电阻为Rr，则电路总电阻
R_总=Rr+

R(rθ)R[r( π 2 -θ)]

π 2 rR

=Rr+

θ(π-2θ)rR

π

杆中电流I与杆转过的角度θ的关系为  I=

E

R总

=

πBr2ω

2πRr+2θ(π-2θ)rR

    
（2）由于总电阻：R_总=Rr+

R(rθ)R[r( π 2 -θ)]

π 2 rR

，圆弧总长度rθ+r（

π

2

-θ）是定值，所以，当 rθ=r（

π

2

-θ）时，即θ=

π

4

时，总电阻R_总有最大值．     
此时，R_总=Rr+

πrR

8

    
此时，电路消耗电功率的最小值是P=

E2

R总

=

2B2r4ω2

8Rr+πrR

答：（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流I与转过的角度θ间的关系为I=

πBr2ω

2πRr+2θ(π-2θ)rR

；
（2）整个电路消耗电功率的最小值是

2B2r4ω2

8Rr+πrR

．

点评：本题要同学们分析出电路的结构，两段圆弧并联后与金属感相连，会用闭合电路欧姆定律求解电流，知道圆弧总长度是定值，能用数学知识求解电阻的最大值，难度适中．