Question

19．如图所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径的6倍，整个轨道处于同一竖直平面内．可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出．已知物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是物块重力的5倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失．求：
（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；
（2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析 （1）物块恰好落入小车圆弧轨道滑动，做圆周运动，到达圆弧轨道最低点B时受到的圆弧的支持力与重力合力提供向心力，运用机械能守恒定律和牛顿第二定律即可求出；
（2）物块在小车BC上滑动，通过摩擦力相互作用，满足动量守恒，然后对物块和小车分别使用动能定理即可求出动摩擦因数μ．

解答 解：（1）设物块的质量为m，其开始下落处位置距BC的竖直高度为h，到达B点时的速度为v，小车圆弧轨道半径为R．
由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²   　　   
在B点根据牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 　　　
联立两式解得：h=3R
即物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的3倍
（2）设物块与BC间的滑动摩擦力的大小为F，物块滑到C点时与小车的共同速度为v′，物块在小车上由B运动到C的过程中小车对地面的位移大小为s．依题意，小车的质量为3m，BC长度为6R．
由滑动摩擦公式得：F=μmg    　　　 
选取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv=（m+3m）v′
对物块、小车分别应用动能定理，有
物块：-F（6R+s）=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv²   　　　 
小车：Fs=$\frac{1}{2}$（3m）v′²-0             
联立求得动摩擦因数：μ=$\frac{3}{8}$ 
答：（1）物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的3倍；
   （2）物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ 为$\frac{3}{8}$．

点评 分析物块的运动过程，明确物块和小车间的相互作用，知道物块在小车BC上滑动，通过摩擦力相互作用，物块做匀减速运动，小车做匀加速运动，恰好没有滑出小车，说明二者速度相等，这样就可以依次选择机械能守恒定律、牛顿第二定律、动量守恒定律、动能定理求解．求动摩擦因数选动能定理简单，因为不考虑中间的运动过程．