Question

7．如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道BC，其底端恰好与水平面相切，一倾角为θ的挡板DE位于半圆槽左侧，现有一质量为m的小球从A点以的初速度v₀向右运动，不计空气阻力，重力加速度为g．
（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
（2）若小球未能通过最高点C，请定性分析小球离开半圆槽轨道后做什么运动？
（3）若小球恰能通过最高点C后，有以下两种运动情境：①小球垂直打到挡板上；②小球到达挡板的位移最小，请分别求出两种情境下小球从C点到挡板的飞行时间t．

Answer 1

分析 （1）小球过B点时，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出；
（2）若小球未能通过最高点C，即可圆轨道后做斜上抛运动或匀速直线运动；
（3）由牛顿第二定律求出小球经过最高点的速度，然后由平抛运动的特点，按照两种情况依次解答即可．

解答 解：（1）小球过B点时，支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F_N=$mg+\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）小球离开圆轨道时，有两种可能的情况：
a、小球从半圆轨道的上半部分离开，此时小球的速度方向为斜向上，所以小球做斜上抛运动；
b、小球的速度比较小，不能到达与O点等高的点，则将沿圆轨道返回，返回后将沿BA的方向做匀速直线运动；
（3）小球恰好过C点，则过C点时，重力恰好提供向心力，则：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：v=$\sqrt{gR}$
小球经过C点后做平抛运动，设打到斜面上时竖直方向的分速度为v_y，竖直方向的位移为y，则：
①小球垂直打到斜面上，则到达斜面时，速度的方向与水平方向之间的夹角为90°-θ，则：tanθ=$\frac{v}{{v}_{y}}=\frac{\sqrt{gR}}{g{t}_{1}}$
所以：${t}_{1}=\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}$
②若小球到达斜面的位移最小，则落地与C点的连线与斜面垂直，所以有：
$tanθ=\frac{x}{y}$
其中：x=vt₂；$y=\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
联立得：t₂=$\frac{2\sqrt{gR}}{gtanθ}$
答：（1）小球通过B点时对半圆槽的压力大小是$mg+\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）若小球未能通过最高点C，小球从半圆轨道的上半部分离开，小球做斜上抛运动；小球的速度比较小，不能到达与O点等高的点，则将沿圆轨道返回后沿BA的方向做匀速直线运动；
（3）①小球垂直打到挡板上时小球从C点到挡板的飞行时间是$\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}$；②小球到达挡板的位移最小时小球从C点到挡板的飞行时间是$\frac{2\sqrt{gR}}{gtanθ}$．

点评 本题是有限制条件的平抛运动，关键要挖掘出隐含的条件，如分速度关系，分位移关系，再由运动学公式解答，注意垂直打在斜轨道上C点即明确了小球末速度的方向．