Question

16．如图在xoy平面内有平行于x轴的两个足够大的荧光屏M、N，它们的位置分别满足y=2l和y=0，两屏之间为真空区域，在坐标原点O有一个放射源不断沿y轴正方向向真空区域内发射带电粒子，已知带电粒子有两种．为探索两种粒子的具体情况，我们可以在真空区域内控制一个匀强电场和一个匀强磁场，电场的场强为E，方向与x轴平行，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xoy平面．
实验结果如下：如果让电场和磁场同时存在，我们发现粒子束完全没有偏转，仅在M屏上有一个亮点，其位置在S（0，2l）；如果只让磁场存在，我们发现仅在N屏上出现了两个亮点，位置分别为P（-3l，0）、Q（l，0），由此我们可以将两种粒子分别叫做P粒子和Q粒子．已知粒子间的相互作用和粒子重力可以忽略不计，试求（坐标结果只能用l表示）：
（1）如果只让磁场存在，但将磁场的磁感应强度减为B₁=$\frac{1}{2}$B，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；
（2）如果只让电场存在，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；
（3）如果只让磁场存在，当磁场的磁感应强度变为B₂=kB时，两种粒子在磁场中运动的时间相等，求k的数值．

Answer 1

分析 （1）当磁场B和电场E同时存在时，两种粒子都受力平衡，据此求出粒子的速度，根据粒子圆周运动的表达式求出将磁场的磁感应强度减为B₁=$\frac{1}{2}$B时圆周运动半径与原来圆周运动半径的关系，由几何知识求出亮点的位置坐标；
（2）如果只让电场存在，粒子做类平抛运动，根据运动的合成与分解列方程求解；
（3）不论磁场为多少，P、Q两粒子的轨道半径R₁：R₂=3：1不变．因为两粒子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须为θ₁：θ₂=1：3，据此进行分析．

解答 解：（1）当磁场B和电场E同时存在时，两种粒子都受力平衡，都满足：
Eq=Bqv
所以两种粒子速度相同都为：v=$\frac{E}{B}$…①
当仅存在磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，两种粒子都满足：
  Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：r=$\frac{mv}{qB}$…②
当磁感应强度为B时，P粒子的轨道半径r₁=$\frac{3}{2}$l，Q粒子轨道半径为：r₂=$\frac{1}{2}$l…③
由②可知当磁场的磁感应强度减为B₁=$\frac{1}{2}$B时，两粒子做圆周运动的半径都加倍，此时有：r₁′=3l，r₂′=l
此时P粒子将打在M屏上，由几何关系有：P粒子亮点位置横坐标为：x_P=$\sqrt{{r}_{2}^{′2}-（2l）^{2}}$-r₂′=-（3-$\sqrt{5}$）l
所以P粒子亮点位置为[-（3-$\sqrt{5}$）l，2l]
而Q粒子仍打在N屏上，易得亮点位置（2l，0）
（2）由上问①②③式，可得两粒子的荷质比及其与E、B的关系，对P、Q分别有：
B²q₁•$\frac{3}{2}$l=m₁E…④
B²q₂$•\frac{1}{2}$l=m₂E…⑤
当仅存在电场时，P粒子将向右偏，y方向分运动为匀速直线运动：
vt=2l…⑥
x方向分运动为受电场力作用的匀加速直线运动，有：
a₁=$\frac{{q}_{1}E}{{m}_{1}}$…⑦
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²…⑧
结合④⑥⑦⑧可得：
x₁=$\frac{4}{3}$l…⑨
同理可以求得Q粒子在-x方向的偏转位移为：
x₂=4l
故P、Q两粒子打在屏上的位置坐标分别为（$\frac{4}{3}$l，2l）、（-4l，2l）．  
（3）由②和③可以得出结论，不论磁场为多少，P、Q两粒子的轨道半径R₁：R₂=3：1不变．因为两粒子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须为θ₁：θ₂=1：3．
如右图粒子打在M屏上时，其运动轨迹圆弧圆心角θ（锐角）与半径R满足l=Rsinθ，不可能满足R₁：R₂=3：1和θ₁：θ₂=1：3．所以两粒子都打在M屏上不可能满足要求．     
两粒子都打在N屏上，圆心角都为π也不能满足要求．   
所以结果必然为P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=$\frac{1}{3}$π．
由几何关系易得此时R₁=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l，结合②③可求得此时：
B₂=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$B，k=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
答：（1）如果只让磁场存在，但将磁场的磁感应强度减为B₁=$\frac{1}{2}$B，荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标为[-（3-$\sqrt{5}$）l，2l]和（2l，0）；
（2）如果只让电场存在，荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标分别为（$\frac{4}{3}$l，2l）、（-4l，2l）；
（3）如果只让磁场存在，当将磁场的磁感应强度变为B₂=kB时，两种粒子在磁场中运动的时间相等，k的数值为$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场、磁场、以及复合场中的运动，在磁场中做匀速圆周运动，在电场中偏转为类平抛运动，根据相应规律分析求解即可，掌握了其运动形式后，便不难求解，万变不离其宗．