Question

11．水平放置的平行金属板相距为d，板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，极板按如图所示的方式接入电路．已知电源内阻为r，滑动变阻器的总阻值为R，滑片P的位置位于变阻器的中点．有一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从两板中间左端沿中心线水平射入场区．不计粒子重力．
（1）若不给金属板充电，求粒子初速度v₀为多大时，可以垂直打在金属饭上？
（2）闭合开关S，让粒子仍以相同初速度v₀射入，而从两板间沿直线穿过，求电源电动势E是多大？
（3）若将磁场撤去，其他条件不变，让粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在极板上，则极板至少多长？

Answer 1

分析 （1）S断开时，粒子进入磁场做匀速圆周运动，当粒子垂直打在金属板上时，轨迹半径为$\frac{1}{2}$d，根据牛顿第二定律，结合洛伦兹力公式即可求解；
（2）S闭合时，粒子做匀速直线运动时，洛伦兹力等于电场力，再由U=Ed、电阻与电压的关系，即可求解．
（3）撤去磁场，两极板间只有电场，粒子在极板间做类平抛运动，应用类平抛运动知识可以求出极板的最小长度．

解答 解：（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动，当粒子垂直打在金属板上时，
由几何关系可知，粒子的运动半径：r=$\frac{1}{2}$d，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：v₀=$\frac{qBd}{2m}$；
（2）闭合后回路中的总电流为：I=$\frac{E}{R+r}$，
两板间的电压为：U=I$\frac{R}{2}$=$\frac{ER}{2（R+r）}$，
因为粒子做匀速直线运动，洛伦兹力等于电场力，
则有：qv₀B=q$\frac{U}{d}$，解得，电源电动势：E=$\frac{q（R+r）{B}^{2}{d}^{2}}{mR}$；
（3）撤去磁场，粒子在两极板间做类平抛运动，
粒子恰好打在极板上时，
水平方向：L=v₀t，
竖直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t²，
解得：L=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）若不给金属板充电，粒子初速度v₀为$\frac{qBd}{2m}$时，可以垂直打在金属饭上；
（2）闭合开关S，让粒子仍以相同初速度v₀射入，而从两板间沿直线穿过，电源电动势E是$\frac{q（R+r）{B}^{2}{d}^{2}}{mR}$；
（3）若将磁场撤去，其他条件不变，让粒子仍以相同初速度v₀射入，要使粒子打在极板上，极板至少长$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$．

点评 此题关键要掌握磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，电路中正确运用闭合电路欧姆定律．在匀强电场中偏转问题，求速度可以运用动能定理，也可以根据运动的合成和分解法求解．