Question

3．如图所示，竖直平面内有一直角坐标系，在y轴的右侧存在无限大的、场强大小为E、水平向左的匀强电场，在y轴的左侧同时存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B、水平宽度为a的匀强磁场．有一不计重力、带正电、比荷为$\frac{q}{m}$的粒子由+x轴上某一位置无初速度释放．
（1）若其恰好经过磁场左边界上P点（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁场Ⅰ的速度v₁的大小；
（2）若其恰好经过y轴上的Q点（0，$\frac{a}{2}$），求粒子从释放开始第一次到达Q所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，即可求解；
（2）画出运动轨迹，粒子可能在磁场中经过半个圆周到Q点，也可能经过2个、3个、…、n个半圆到Q点，结合几何关系得到半径的通项，再根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）如图所示，由几何关系可知：
${r}_{1}^{2}$=a²+（r₁-$\frac{a}{2}$）²；
可知，粒子在磁场中运动轨迹半径r₁=$\frac{5a}{4}$；
由牛顿第二定律，可得：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
因此射出磁场的速度v₁=$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）粒子从释放开始到第一次到达Q点，可能轨迹如下图所示，
由几何关系，有：n•2r₂=$\frac{a}{2}$，其中n=1，2，3，…
故r₂=$\frac{a}{4n}$
粒子在磁场中${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在电场中匀加速直线运动${v}_{2}=\frac{Eq}{m}{t}_{1}$，
解得：${t}_{1}=\frac{Ba}{4nE}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，通过一个半圆的时间为$\frac{T}{2}$
从释放开始一直第一次到达Q所用的时间$t=（2n-1）{t}_{1}+n\frac{T}{2}$
解得：t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$  其中n=1，2，3，…
答：（1）若其恰好经过磁场左边界上P点（-a，$\frac{a}{2}$），粒子射出磁场Ⅰ的速度v₁的大小为$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）若其恰好经过y轴上的Q点（0，$\frac{a}{2}$），粒子从释放开始第一次到达Q所用的时间为t=n$\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$ 其中n=1，2，3，…．

点评 本题关键是明确粒子在电场和磁场中的受力情况和运动情况，画出运动轨迹，找出半径，注意第二问要考虑多解．