Question

14．一玻璃立方体中心有一点光源，现在立方体的部分表面镀上不透光薄膜，以致从光源发出的光线只经一次折射不能透出立方体，已知该玻璃的折射率为$\sqrt{2}$，镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 通过光线在镀膜部分发生全反射，根据临界情况，通过几何关系求出镀膜面积与立方体表面积之比的最小值．

解答 解：如图，考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折，根据折射定律有：nsinθ=sinα
式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角
现假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一点．由题意，在A点刚好发生全反射，故${α}_{A}=\frac{π}{2}$．
设线段OA在立方体上表面的投影长为R，由几何关系有：$sin{θ}_{A}=\frac{{R}_{A}}{\sqrt{{{R}_{A}}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}}$．
式中a为玻璃立方体的边长，有①②③式得：${R}_{A}=\frac{a}{2\sqrt{{n}^{2}-1}}$．
则${R}_{A}=\frac{a}{2}$
由题意，上表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为R_A的圆．所求的镀膜面积S'与玻璃立方体的表面积S之比为$\frac{s′}{s}=\frac{6π{{R}_{A}}^{2}}{6{a}^{2}}$=$\frac{π}{4}$．
答：镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值为$\frac{π}{4}$．

点评 解决本题的关键确定临界情况，根据折射定律，通过几何关系进行求解．