Question

4．如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为3m的重物，另一端系一质量为m、电阻为r的金属杆．在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为B₀的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度为g，求
（1）重物匀速下降的速度v；
（2）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R；
（3）将重物下降h时的时刻记作t=0，速度记为v₀，若从t=0开始磁感应强度逐渐减小，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出磁感应强度B的大小随时间t变化的关系．

Answer 1

分析 （1）重物匀速下降时，金属杆匀速上升，合力为零．分析金属杆的受力情况，由F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv结合推导出安培力的表达式，即可由平衡条件求出重物匀速下降的速度v；
（2）根据能量守恒及串并联电路的规律可求得R上产生的热量；
（3）金属杆中恰好不产生感应电流时，说明穿过回路的磁通量不变，根据t时刻与t=0时刻磁通量相等列式，求解即可．

解答 解：（1）重物匀速下降时，设细线对金属棒的拉力为T，金属棒所受安培力为F，分析金属棒受力T=mg+F
又$F={B_0}IL=\frac{{B_0^2{L^2}v}}{R+r}$
分析重物受力T=3mg
所以$v=\frac{2mg（R+r）}{{B_0^2{L^2}}}$
（2）设电路中产生的总焦耳热为Q，则由能量守恒$3mgh-mgh=\frac{1}{2}（3m）{v^2}+\frac{1}{2}m{v^2}+Q$
电阻R中产生的焦耳热为Q_R，由串联电路特点${Q_R}=\frac{R}{R+r}Q$
所以${Q_R}=\frac{2mghR}{R+r}-\frac{{8{m^3}{g^2}（R+r）R}}{{{B_0}^4{L^4}}}$
（3）金属杆中恰好不产生感应电流，即磁通量不变Φ₀=Φ_t，所以B₀hL=B_t（h+h₂）L
式中${h_2}={v_0}t+\frac{1}{2}a{t^2}$
又$a=\frac{3mg-mg}{3m+m}=\frac{g}{2}$
则磁感应强度与时间t的关系为${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$
答：（1）重物匀速下降的速度v为$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）电阻R中产生的焦耳热Q_R为$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．
（3）出磁感应强度B的大小随时间t变化的关系为${B_t}=\frac{{{B_0}h}}{{h+{v_0}t+\frac{g}{4}{t^2}}}$

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，正确分析金属杆的受力情况和能量如何转化是关键，并要知道不产生感应电流的条件是磁通量不变．对于连接体，可直接运用整体法求解加速度，也可以隔离求解加速度．