Question

19．如图所示，光滑圆弧轨道与光滑斜面在B点平滑连接，圆弧半径为R=0.4m，一半径很小、质量为m=0.2kg的小球从光滑斜面上A点由静止释放，恰好能通过圆弧轨道最高点D，斜面倾角为53°，求：
（1）小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h；
（2）小球运动到C点时对轨道的压力大小；
（3）小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，抓住小球恰好通过最高点D，求出D点的速度，对A到D的过程运用机械能守恒定律求出小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h；
（2）根据机械能守恒定律求出C点的速度，结合牛顿第二定律求出小球运动到C点时对轨道的压力大小；
（3）小球离开D点做平抛运动，结合平抛运动的规律，结合几何关系，运用运动学公式求出小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动的时间．

解答 解：（1）小球恰好通过D点，重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{D}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$m/s=2m/s．
对A到D的过程运用机械能守恒定律得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$，
代入数据解得：h=1m．
（2）A到C的过程运用机械能守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
在C点，根据牛顿第二定律得：${F}_{C}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F_C=12N，
根据牛顿第三定律知，小球运动到C点时对轨道的压力大小为12N．
（3）设落点与B点的距离为x，根据平抛运动的规律知，水平方向上有：Rsin53°+xcos53°=v_Dt，
竖直方向上有：$R+Rcos53°-xsin53°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入数据联立解得：t=$\frac{4}{15}s$≈0.27s．
答：（1）小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h为1m；
（2）小球运动到C点时对轨道的压力大小为12N；
（3）小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动的时间为0.27s．

点评 本题考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律和圆周运动、平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．