Question

9．某传送货物装置可简化为如图所示，质量为m=2kg可视为质点的货物，从半径R=5m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道的B点，无初速下滑至最低点C，再滑上质量为M=2kg、停靠在C点的滑板，滑板与C等高，滑板的长度为L₁=10m．取g=10m/s²，求：
（1）货物滑至C点时对C处的压力N；
（2）若货物与滑板的动摩擦因数μ₁=0.3，且滑至滑板的右端时刚好与滑板相对静止，求滑板与地面的动摩擦因数μ₂；
（3）在（2）问的前提下，滑板与DE平台碰后以原速率弹回，且回到C点刚好停下，货物滑上与滑板等高的DE平台．这样不停地把质量为m货物从AB平台传送至DE平台，求滑板静止时右端到DE平台的距离L₂．

Answer 1

分析 （1）货物由B到C的过程，由动能定理可求得货物在C点的速度，根据牛顿第二定律即牛顿第三定律列方程，可求得货物对轨道的压力N；
（2）货物滑上滑板M后做匀减速运动，滑板做匀加速运动，货物滑至滑板的右端时刚好与滑板相对静止，两者速度相同，由牛顿第二定律可分别求得货物及滑板的加速度，结合速度相同列式工，求时间，再根据货物的位移和滑板之差等于滑板的长度列式，联立可求解．
（3）运用动能定理求滑板静止时右端到DE平台的距离L₂．

解答 解：（1）货物从B运动到C做圆周运动，设C点对货物支持力为N′，由动能定理及牛顿运动定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0…①
在C点有：N′-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
联解①②得：N′=3mg=3×2×10N=60N
由牛顿第三定律得：N′=-N…③
得：N=-60N，负号表示方向竖直向下…④
（2）由题可知滑板会相对地面运动，设货物运动用时为t时与滑板相对静止，速度为v₁，由牛顿第二定律及运动学知识有：
对货物：
  μ₁mg=ma₁…⑤
  v₁=v-a₁t…⑥
货物的位移 x₁=$\frac{v+{v}_{1}}{2}t$…⑦
对滑板：
  μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂…⑧
  v₁=a₂t…⑨
滑板的位移 x₂=$\frac{0+{v}_{1}}{2}t$…⑩
货物滑到滑板右端时，有：x₁-x₂=L₁…⑪
联解⑤～⑪得：μ₂=0.05…⑫
（3）设滑板与DE平台相碰撞时速度为v₂，由动能定理有：
-μ₂（M+m）g（L₂-x₂）=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{1}^{2}$…⑬
-μ₂MgL₂=0-$\frac{1}{2}$M${v}_{2}^{2}$…⑭
联解⑬⑭得：L₂=10m…⑮
答：（1）货物滑至C点时对C处的压力N是60N．
（2）滑板与地面的动摩擦因数μ₂是0.05．
（3）滑板静止时右端到DE平台的距离L₂是10m．

点评 本题考查牛顿第二定律和第三定律及动能定理的应用，关键分析物体及小车的运动状态，按时间顺序分析，并要抓住速度相等的条件．