Question

6．“海上生明月，天涯共此时”、“但愿人长久，千里共婵娟”，月亮是人们思乡思亲的寄托，千百年来用清冽的光辉陪伴着我们．宇宙中，月球是离地球最近的天体，登月也是人类迈向宇宙的第一步．2014年10月，我国嫦娥五号飞行试验器拜访了老邻居月球，在月球旁边拍下“月地合影”，并成功返回故乡地球．
文学从情感上拉近了月亮和人的距离，科学则从理性和技术上拉近了人和月球的距离．根据所学知识，在地球上就可推算出月球的一些信息．已知月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动，地球的质量为M，月球绕地球公转的周期为T，引力常量为G．求
（1）地心到月心之间的距离r；
（2）月球绕地球公转线速度v的大小．

Answer 1

分析 研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出问题．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所要求解的物理量选取应用．

解答 解：（1）月球绕地球的运动可视为匀速圆周运动，设月球质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律$G\frac{Mm}{r^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}r$
解得 $r=\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
（2）月球绕地球公转的速度大小$v=\frac{2πr}{T}=\root{3}{{\frac{2πGM}{T}}}$
答：（1）地心到月心之间的距离是$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球绕地球公转线速度v的大小$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$．

点评 万有引力在天体中的运动，主要是万有引力充当向心力，注意向心力的表达有多种形式，应灵活选择．