Question

2．如图所示，电量均为+q的两个点电荷相距2r，O点是其连线的中点，P点是其中垂线上的电场强度最大的点．已知静电力常量为k，关于P点的位置和P点的电场强度，下列描述正确的是（　　）

• A． OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，E_p=$\frac{3kq}{4{r}^{2}}$
• B． OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
• C． OP=r，E_p=$\frac{\sqrt{2}kq}{2{r}^{2}}$
• D． OP=$\sqrt{3}$r，E_p=$\frac{\sqrt{3}kq}{4{r}^{2}}$

Answer 1

分析 设PO=x，根据点电荷场强公式E=k$\frac{Q}{{r}^{2}}$和电场的叠加原理得到P点的场强E_p与x的关系式，再由数学知识求解．

解答 解：设PO=x，则两个点电荷在P点产生的场强大小均为 E=k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$，设E的方向与x轴正方向的夹角为α．则P点的电场强度为：
E_P=2Ecosα=2k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$•$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}}$=$\frac{2kqx}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
求导得：E_P′=$\frac{2kq（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}-2kqx•\frac{3}{2}•\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}•（2x）}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{3}}$
当E_P′=0时，E_P最大，由上式解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
故选：B

点评 解决本题的关键要列出E_p与x的关系式，运用数学知识求解极值，要扎实的数学基本功，并能熟练运用．