Question

4．如图所示，两块很大的平行导体板MN、PQ产生竖直向上的匀强电场，两平行导体板与一半径为r的单匝线圈连接，在线圈内有一方向垂直线圈平面向里，磁感应强度变化率为$\frac{△{B}_{1}}{△t}$的匀强磁场．在两导体板之间还存在有理想边界的匀强磁场，匀强磁场分布为I、II两个区域，其边界为MN、ST、PQ，磁感应强度大小均为B₂，方向如图所示，I区域高度为d₁，II区域的高度为d₂．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从MN板上方的O点由静止开始下落，穿过MN板的小孔进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，II区域的高度d₂足够大，带电小球在运动中不会与PQ板相碰，重力加速度为g．

（1）求线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$；
（2）若带电小球运动后恰能回到O点，求带电小球释放时距MN的高度h；
（3）若带电小球从距MN的高度为3h的O’点由静止开始下落，为使带电小球运动后仍能回到O’点，在磁场方向不改变的情况下对两导体板之间的匀强磁场作适当的调整，请你设计出两种方案并定量表示出来．

Answer 1

分析 （1）小球能做匀速圆周运动，则有电场力与重力平衡，根据平衡条件求解出电场强度后，根据法拉第电磁感应定律求解线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率；
（2）只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点；结合对称性，画出运动轨迹，根据几何关系，结合动能定理与牛顿第二定律，即可求解；
（3）由上式高度可知，从而确定磁感应强度的变化值，并依重力与电场力相等，从而确定距离关系．

解答 解：（1）带电小球进入复合场后恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，得：
qE=mg
根据公式U=Ed得到：
E=$\frac{U}{{d}_{1}+{d}_{2}}$
根据法拉第电磁感应定律，有：
U=$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=πr²
解得：
$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{mg（{d}_{1}+{d}_{2}）}{qπ{r}^{2}}$
（2）只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点，由于两个磁场区的磁感应强度大小都相等，所以半径都为R，由图可知△O₁O₂O₃是等边三角形．
根据动能定理，有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²
根据洛伦兹力提供向心力，有：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
三个圆心的连线构成等边三角形，结合几何关系，有：
R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$d₁
解得：h=$\frac{2{d}_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）方案1：改变磁感应强度
自由落体过程，根据动能定理，有：
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{6gh}$=$\sqrt{3}$v
根据洛伦兹力提供向心力，有：
qv₁′B₂′=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
B₂′=$\sqrt{3}$B₂
将两板之间的匀强磁场的磁感应强度增大为原来的$\sqrt{3}$倍．
方案2：改变磁场的宽度：
由h=$\frac{2{d}_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$可知，将磁场I区的宽度增大为原来的$\sqrt{3}$倍，即d₁′=$\sqrt{3}$d₁．
磁场II区的宽度变为d₂′=d₂-（$\sqrt{3}$-1）d₁
方案3：改变磁场边界：磁场II区的磁场边界下移y的距离．
当带电小球从距MN的高度为3h的O′点由静止开始下落时，应有
mg×3h=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
根据洛伦兹力提供向心力，有：
qv₁B₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由第2问解析，有：
h=$\frac{2{d}_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$
R₁=2d₁
画出粒子的运动轨迹，如右图所示，在中间匀速直线运动过程中，粒子的速度方向与竖直方向成30°角，根据几何关系，可得
y=$\frac{{R}_{1}cos30°-R{\;}_{1}（1-cos30°）}{tan30°}$
y=（6-2$\sqrt{3}$）d₁
方案4：同时改变磁感应强度和磁场边界（上图中30⁰角改为θ角）
设磁感应强度增大k倍．B₂′=kB₂
则磁场II区域的上边界下移y的距离
y=$\frac{{R}_{1}cosθ-{R}_{1}（1-cosθ）}{tanθ}$
式中：R₁=$\frac{2{d}_{1}}{k}$
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}k）^{2}}$
tanθ=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}-1}}$
答：（1）线圈内匀强磁场的磁感应强度变化率为$\frac{mg（{d}_{1}+{d}_{2}）}{qπ{r}^{2}}$；
（2）若带电小球运动后恰能回到O点，带电小球释放时距MN的高度h为$\frac{2{d}_{1}^{2}{q}^{2}{B}_{2}^{2}}{3g{m}^{2}}$；
（3）方案如上所示．

点评 考查带电小球在复合场中做运动，结合受力分析，掌握物理规律，形成解题思路，提高分析问题的能力．