Question

1．如图所示，正方体空心框架ABCD-A₁B₁C₁D₁下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）沿不同的水平方向分别抛出，落点都在△B₁C_lD₁平面内（包括边界）．不计空气阻力，以地面为重力势能参考平面．则（　　）

• A． 小球初速度的最小值与最大值之比是1：$\sqrt{2}$
• B． 落在C_l点的小球，运动时间最长
• C． 若小球的轨迹与AC₁两点连线在不同点相交，则小球在交点处的速度方向与速度方向都相同
• D． 落在B₁D₁线段上的小球，落地时机械能的最小值与最大值之比是1：2

Answer 1

分析 小球做平抛运动，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为自由落体运动．运动时间由下落的高度决定．由分位移公式求初速度．由机械能守恒定律研究落地时机械能之比．

解答 解：AB、小球做平抛运动，由h=$\frac{1}{2}$gt²得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，下落高度相同，平抛运动的时间相等．小球落在B₁D₁线段的中点时水平位移最小，落在C₁时水平位移最大，由几何关系知水平位移的最小值与最大值之比是1：2，由x=v₀t，t相等，得知小球初速度的最小值与最大值之比是1：2，故A、B错误．
C、设AC₁的倾角为α，轨迹与AC₁线段相交的小球，在交点处的速度方向与水平方向的夹角为θ．则有 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，tanθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}$，则 tanθ=2tanα，可知θ一定，则轨迹与AC₁线段相交的小球，在交点处的速度方向相同，故C正确．
D、落在B₁D₁线段中点的小球，落地时机械能的最小，落在B₁D₁线段上D₁或B₁的小球，落地时机械能的最大．设落在B₁D₁线段中点的小球初速度为v₁，水平位移为x₁．落在B₁D₁线段上D₁或B₁的小球初速度为v₂．水平位移为x₂．由几何关系有 x₁：x₂=1：$\sqrt{2}$，由x=v₀t，得：v₁：v₂=1：$\sqrt{2}$，落地时机械能等于抛出时的机械能，分别为：E₁=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，E₂=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，可知落地时机械能的最小值与最大值之比不等于1：2．故D错误．
故选：C

点评 解决本题的关键要掌握平抛运动的研究方法，掌握分位移公式，C项也可以作为一个结论记住．