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    14．如甲图所示，光滑导体轨道PMN和P'M'N'是两个完全一样轨道，是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和M'点相切，两轨道并列平行放置，MN和M'N'位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP'之间有一个阻值为R的电阻，开关K是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN'M'是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如乙所示．金属棒a和b质量均为m、电阻均为R．在水平轨道某位置放上金属棒b，静止不动，a棒从圆弧顶端静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终不接触，当两棒的速度稳定时，两棒距离$x=\frac{{m\sqrt{2gr}R}}{{2{B^2}{L^2}}}$，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，b棒离开轨道做平抛运动，在b棒离开轨道瞬间，开关K闭合．不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为g．求：
    （1）两棒速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
    （2）两棒落到地面后的距离是多少？
    （3）整个过程中，两棒产生的焦耳热分别是多少？

    分析 （1）a棒沿光滑圆轨道下滑时机械能守恒，根据机械能守恒定律求出a棒运动到圆轨道最低点M时的速度．两棒速度稳定时速度相同．对于a、b两棒组成的系统，由于合外力为零，所以系统的动量守恒，结合动量守恒定律，即可求解最终的速度；
    （2）经过一段时间后b棒离开轨道做平抛运动．a棒与电阻R组成闭合电路，对a棒，运用动量定理求出a棒离开轨道时的速度，再由平抛运动的规律求两棒落到地面后的距离．
    （3）由通量守恒定律，即可求解整个过程中两棒产生的焦耳热．．

    解答 解：（1）a棒沿圆轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得：
    mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    解得a棒到达M点时的速度为：v0=$\sqrt{2gr}$
    a棒进入磁场向右运动时，两棒和导轨构成的回路面积减小，磁通量减小，产生感应电流，a棒受到向左的安培力而做减速运动，b棒在向右的安培力作用力向右做加速运动，只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积不变，磁通量不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动．
    从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等、方向相反，系统的合外力为零，所以两棒的总动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
    mv0=2mv1．
    解得两棒最终匀速运动的速度为：v1=$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$
    （2）经过一段时间后，b棒离开轨道做平抛运动．a棒与电阻R组成闭合电路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道的过程中，a棒受到的安培力的冲量为：
    IA=B$\overline{I}$Lt=BL$\frac{△Φ}{2Rt}$t=$\frac{BL•BLx}{2R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{2R}$
    对a棒，运用动量定理得（取向右为正方向）
    -IA=mv2-mv1
    解得：v2=$\frac{\sqrt{2gr}}{4}$
    由平抛运动的规律得：两棒落到地面后的距离是：△x=（v1-v2）$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{rh}}{2}$
    （3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等，Qa=Qb．
    由能量守恒定律得：Qa+Qb=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$×2mv12=$\frac{1}{2}$mgr
    可得：Qa+Qb=$\frac{1}{4}$mgr
    b棒离开轨道后a棒产生的焦耳热为：Qa′=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$mv12-$\frac{1}{2}$mv22）=$\frac{3}{32}$mgr
    所以a棒产生的总焦耳热为：Q=Qa+Qa′=$\frac{1}{3}$mgr
    答：（1）两棒速度稳定时，两棒的速度均是$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$．
    （2）两棒落到地面后的距离是$\frac{\sqrt{rh}}{2}$．
    （3）整个过程中，a、b两棒产生的焦耳热分别是$\frac{1}{3}$mgr和$\frac{1}{4}$mgr．

    点评 解决本题的关键是要正确分析两棒的运动情况，知道两棒都在磁场中运动时系统遵守动量守恒定律，与完全非弹性碰撞相似，抓住基本规律：动量守恒定律和能量守恒定律进行研究．

    练习册系列答案
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    A．B．C．D．

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    A．ab边刚进入磁场时，电流方向为a→b
    B．ab边刚进入磁场时，线框做加速运动
    C．线框进入磁场过程中的最小速度可能等于$\frac{mgRsinθ}{{{B^2}{l^2}}}$
    D．线框进入磁场过程中产生的热量为mgdsinθ

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    回答下列问题：
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    （3）若关系式m1$\sqrt{\frac{1}{h_{P}}}$=m1$\sqrt{\frac{1}{h_{N}}}$+m2$\sqrt{\frac{1}{h_{M}}}$（用题中所测量的物理量的符号表示）成立，则说明了两小球碰撞中动量守恒．

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