Question

4．如图所示．AB为斜面，其倾角为30°，小球从A点以初速度v₀水平抛出，恰好落到B点．求：
（1）A、B间的距离；
（2）物体在空中飞行的时间；
（3）从抛出开始经过多长时间小球与斜面间的距离最大？
（4）小球与斜面间的最大距离．

Answer 1

分析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，抓住位移关系求出运动的时间，从而求出水平距离和AB间的距离．
将小球的运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，当垂直于斜面方向上的速度为零时，距离斜面最远，根据位移公式求出小球离斜面的最大距离．

解答 解：（1、2）根据$tan30°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$得飞行的时间为：
t=$\frac{2{v}_{0}tan30°}{g}=\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$，
AB间的距离为：
${s}_{AB}=\frac{{v}_{0}t}{cos30°}=\frac{4{{v}_{0}}^{2}}{3g}$．
（3、4）将小球的运动分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，
在垂直斜面方向上的分速度为：${v}_{y0}={v}_{0}sin30°=\frac{1}{2}{v}_{0}$，
在垂直斜面方向上的加速度为：${a}_{y0}=gcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}g$，
则小球离斜面最远的时间为：$t=\frac{{v}_{y0}}{{a}_{y0}}=\frac{\frac{1}{2}{v}_{0}}{\frac{\sqrt{3}g}{2}}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$．
小球离斜面间的最大距离为：${x}_{m}=\frac{{{v}_{y0}}^{2}}{2{a}_{y0}}=\frac{\frac{1}{4}{{v}_{0}}^{2}}{\sqrt{3}g}=\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{12g}$．
答：（1）A、B间的距离为$\frac{4{{v}_{0}}^{2}}{3g}$；
（2）物体在空中飞行的时间为$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$；
（3）从抛出开始经过$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$时间小球与斜面间的距离最大．
（4）小球与斜面间的最大距离为$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{12g}$．

点评 解决本题的关键掌握处理平抛运动的方法，知道分运动的运动规律，抓住等时性，结合运动学公式灵活求解．