Question

3．我国将于今年12月发射“嫦娥五号”卫星，该卫星将首次实现在月球上取样并返回地球．如图所示，设“嫦娥五号”先在距月球表面高度为H处的环月轨道I上做运行周期为T的匀速圆周运动；随后在该轨道上的A点采取措施，降至近月点离月球表面高度为h的椭圆轨道Ⅱ上．若以R表示月球半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，已知引力常量G．则下述判断正确的是（　　）

• A． “嫦娥五号”在轨道I上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度
• B． “嫦娥五号”在轨道I上A点的速度等于在轨道Ⅱ上A点的速度
• C． 月球的质量为 $\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
• D． “嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的周期为$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}$T

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律，结合万有引力的大小比较加速度；根据变轨的原理比较“嫦娥五号”在轨道I上A点和轨道Ⅱ上A点的速度大小；根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出月球的质量；根据开普勒第三定律求出“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的周期．

解答 解：A、“嫦娥五号”在轨道I上的A点和轨道Ⅱ上的A点所受的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，故A错误．
B、“嫦娥五号”从轨道I上的A点进入轨道Ⅱ，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，可知轨道I上A点的使得大于轨道Ⅱ上A点的速度，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，故C正确．
D、椭圆轨道的半长轴为$\frac{2R+h+H}{2}$，根据开普勒第三定律知，$\frac{{a}^{3}}{T{′}^{2}}=\frac{（R+H）^{3}}{{T}^{2}}$，解得“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的周期T′=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}$T，故D正确．
故选：CD．

点评 解决本题的关键知道变轨的原理，掌握万有引力提供向心力这一重要理论，对于椭圆轨道求解周期时，一般都是通过开普勒第三定律进行求解．