Question

20．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=2m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小物块到达C点时速度的大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；v
（3）若小物块刚好不滑出长木板，则木板的长度L为多少？

Answer 1

分析 （1）小物块从A到C做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求解小球到达C点时的速度．
（2）小物块由C到D的过程中，运用动能定理可求得物块经过D点时的速度．到达圆弧轨道末端D点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律列式，求出轨道对物块的支持力，再由牛顿第三定律求出物块对轨道的压力．
（3）物块滑上长木板后做匀减速运动，长木板做匀加速运动，小物块恰好不滑出长木板时，物块滑到长木板的最右端，两者速度相等，根据动量守恒或牛顿运动定律、运动学公式结合和能量守恒求出此时木板的长度，即可得到木板的长度最小值．

解答 解：（1）小物块在C点速度大小：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=4m/s；
（2）小物块由C到D，由动能定理得：
$mgR（1-cos{60^0}）=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_C^2$，
代入数据解得：${v_D}=2\sqrt{5}m/s$，
小球在D点，由牛顿第二定律得：${F_D}-mg=m\frac{v_D^2}{R}$，
代入数据解得：F_D=60N，
由牛顿第三定律可知，压力：F_D′=F_D=60N，方向：竖直向下；
（3）物块与木板组成的系统动量守恒，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：mv_D=（M+m）v，
由能量守恒定律得：$μmgL=\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}（M+m）{v^2}$，
代入数据解得：L=2.5m；
答：（1）小物块到达C点时速度的大小为2m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小为60N，方向：竖直向下；
（3）若小物块刚好不滑出长木板，则木板的长度L为2.5m．

点评 此题主要考查了平抛运动基本规律、牛顿运动定律及动能定理、能量守恒定律的直接应用，是常见的题型．