Question

10．如图所示，一个$\frac{3}{4}$圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度的取值范围是多少？
（3）如果你是一个玩具设计员，小球离A点的高度H确定的情况下，要使小球能打在MN上最远，请你设计一下圆弧半径R应为多少？并求出最远距离．

Answer 1

分析 （1）小球离开C点做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得C点速度的大小．小球通过C点时，由重力和圆管的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得圆管对小球的作用力，由牛顿第三定律得到小球对圆管的作用力；
（2）小球平抛运动的水平位移最大为4R，最小为R，根据平抛运动的规律和机械能守恒结合求解．
（3）根据平抛运动的规律和机械能守恒结合得到平抛的水平距离与圆弧半径R的关系，再由数学知识求解．

解答 解：（1）小球离开C点做平抛运动，则
  竖直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²
  水平方向：R=v₁t  
联立解得，v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
设小球以v₁经过C点受到管对它的竖直向上的作用力为F_N，有：
   mg-F_N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_N=$\frac{1}{2}$mg
由牛顿第三定律可知，小球对管作用力的大小为$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．
（2）小球由静止释放的高度最大时，小球运动的水平位移为4R，打到N点．设能够落到N点的水平速度为v₂，有：
  v₂=$\frac{4R}{t}$=$\sqrt{8gR}$
设小球离A点的最大高度为H₂，根据机械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：H₂=5R             
同理：设小球离A点的最小高度为H₁，有
  mg（H₁-R）=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：H₁=$\frac{5}{4}$R                  
因此欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度的取值范围是：$\frac{5}{4}$R≤H≤5R．
（3）根据机械能守恒定律得：mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
平抛运动的水平位移 x=v_Ct，时间 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
联立得 x=2$\sqrt{R（H-R）}$
根据数学知识知，当R=H-R即R=$\frac{1}{2}H$时x最大，x的最大值为 x_max=$\frac{1}{2}$H
答：（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小为大小为$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．
（2）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的高度的取值范围是$\frac{5}{4}$R≤H≤5R．
（3）当圆弧半径R为$\frac{1}{2}$H时小球能打在MN上最远，最远距离是$\frac{1}{2}$H．

点评 本题首先要明确物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．会运用数学上函数法求最值．