Question

17．如图所示，半径R=1.6m的$\frac{1}{6}$光滑圆弧轨道位于竖直平面内，与长L=3m的绝缘水平传送带平滑连接，传送带以v=3m/s的速度顺时针转动，传送带右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E=20N/C，磁感应强度B=3.0T，方向垂直纸面向外．两个质量均为m=1.0×10^-3Kg的物块a和b，物块a不带电，b带q=1.0×10^-3C的正电并静止于圆弧轨道最低点，将a物块从圆弧轨道顶端由静止释放，运动到最低点与b发生正碰，碰撞时间极短，碰后粘合在一起，离开传送带后一起飞入复合场中，最后以与水平成60⁰角落在地面上的P点（如图），已知两物块与传送带之间的动摩擦因数均为μ=0.1，取g=10m/s²，a、b均可看做质点．求：
（1）物块a运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力；
（2）传送带距离水平地面的高度；
（3）两物块碰撞后到落地前瞬间的运动过程中，a、b系统机械能的变化量．

Answer 1

分析 （1）研究物块a在圆弧上下滑的过程，由机械能守恒求出物块a运动到圆弧轨道最低点时的速度．在最低点，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求得支持力，从而得到压力．
（2）对于ab碰撞过程，由动量守恒定律求得碰后两者的共同速度．分析ab在传送带上的运动情况，由牛顿第二定律求出加速度，由速度位移公式求出ab与传送带共速时通过的位移，可以知道共速后ab匀速运动．复合体进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道半径，再由几何知识求传送带距离水平地面的高度；
（3）分别由功的公式求出摩擦力对ab做功和电场力做功，由功能关系求两物块碰撞后到落地前瞬间的运动过程中，a、b系统机械能的变化量．

解答 解：（1）a物块从释放运动到圆弧轨道最低点C时，机械能守恒，则得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$    
代入数据解得：v_C=4m/s     
在C点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=2×10^-2N
由牛顿第三定律知，a物块对圆弧轨道压力为：N′=N=2×10^-2N，方向竖直向下．
（2）ab碰撞过程，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_C=2mv_C′
代入数据解得：v_C′=2m/s
ab在传送带上假设能与传送带达到共速时经过的位移为s，由牛顿第二定律得：
μ•2mg=2ma
代入数据解得：a=μg=1m/s²
由${v}^{2}-{v}_{C}^{′2}$=2as
得：s=2.5m＜L   所以ab离开传送带时与其共速为v=5m/s 
进入复合场后，由于qE=2mg=10^-2N，所以做匀速圆周运动，由qvB=2m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：
  r=2$\frac{mv}{qB}$=2×$\frac{1{0}^{-3}×3}{1{0}^{-3}×3}$=2m
由几何知识解得传送带与水平地面的高度为：
h=r+$\frac{1}{2}$r=3m
（3）ab系统在传送带上运动过程中，摩擦力对其做功，为：
 W_f=μ•2mgs=0.1×2×10^-3×10×2.5=5×10^-3J
ab系统在复合场运动过程中，电场力对其做功：
W_电=-qEh=-1.0×10^-3×20×3J=-6×10^-2J
所以，二者碰后一直到落地，系统机械能的变化量为：△E=W_f+W_电=5.5×10^-2J
（或者：ab在传送带上机械能的变化量为：△E₁=△E_k=$\frac{1}{2}×2m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}×2m{v}_{C}^{′2}$
解得：△E₁=△E_k=5×10^-3J
ab在复合场中机械能的变化量为：△E₂=△E_p=-2mgh=-2×10^-3×10×3=-6×10^-2J
所以，在二者碰后一直到落地，系统机械能的变化量为：△E=△E₁+△E₂=-5.5×10^-2J
答：（1）物块a运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力是2×10^-2N，方向竖直向下；
（2）传送带距离水平地面的高度是3m；
（3）两物块碰撞后到落地前瞬间的运动过程中，a、b系统机械能的变化量是-5.5×10^-2J．

点评 本题的关键要判断物体的受力情况，分析清楚物体的运动情况，带电体在复合场中运动时，电场力与重力平衡，由洛伦兹力提供向心力，画出轨迹，由几何知识求距离是常用方法，要学会运用．