Question

（18分）如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37^o，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连。小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道。小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为1.8R。求：

⑴小球滑到斜面底端C时速度的大小。
(2)小球对刚到C时对轨道的作用力。
(3)要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R’应该满足什么条件？若R’=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多远？
注：在运算中，根号中的数值无需算出。

Answer 1

（1） （2）6.6mg ，方向竖直向下 （3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，情况一：小球b能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．R′≤0.92R，小球b上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D；情况二：R′≥2.3R，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处，a球停在D点左侧，距D点R处．

解析试题分析：（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有
      （2分）
可得                       （1分）
（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律
 ， （2分） 其中r满足   r+r·sin53⁰=1.8R   （1分）
联立上式可得：N=6.6mg         （1分）
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg ，方向竖直向下。 （1分）
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道。则小球b在最高点P应满足  （1分）
小球从C直到P点过程，由动能定理，有      （1分）
可得                   （1分）
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D。则由动能定理有
                 （1分）
              （1分）
若，由上面分析可知，小球必定滑回D，设其能向左滑过DC轨道，并沿CB运动到达B点，在B点的速度为v_B,，则由能量守恒定律有          （1分）
由⑤⑨式，可得                   （1分）
故知，小球不能滑回倾斜轨道AB，小球将在两圆轨道之间做往返运动，小球将停在CD轨道上的某处。设小球在CD轨道上运动的总路程为S，则由能量守恒定律，有         （1分）
由⑤⑩两式，可得   S=5.6R             （1分）
所以知，b球将停在D点左侧，距D点0.6R处。      （1分）
考点：本题考查圆周运动、动能定理的应用，意在考查学生的综合能力。