Question

如图所示，有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计)，质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长的轻绳相连结（未画出）。开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于距离固定支架C高度处。然后自由下落到C上，支架上有一半径为 ()的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上。薄板M与支架发生没有机械能损失的碰撞（碰撞时间极短）。碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧。在轻绳绷紧的瞬间，两板具有共同速度V.不计空气阻力，，求：

小题1:两板分离瞬间的速度大小V₀；
小题2:若，求轻绳绷紧时两板的共同速度大小V ；
小题3:若绳长未定，（K取任意值），其它条件不变，轻绳长度满足什么条件才能使轻绳绷紧瞬间两板的共同速度V方向向下。

Answer 1

小题1:2m/s
小题2:
小题3:

(1) 开始 M与m自由下落，据机械能守恒：(M+m)gh＝(M+m)V₀²  （2分）
所以，V₀＝＝2m/s   （2分）
（2）M碰撞支架后以V₀返回作竖直上抛运动，m继续下落做匀加速运动。经时间t， M上升高度为h₁，m下落高度为h₂。则：
h₁＝V₀t－gt²    h₂＝V₀t＋gt²，                      （1分）
则h₁＋h₂＝2V₀t＝0.4m，   故：        （1分）
设绳绷紧前M速度为V₁， m的速度为V₂，有
V₁＝V₀－gt＝2－10×0.1＝1m/s   （1分）
V₂＝V₀＋gt＝2＋10×0.1＝3m/s  （1分）
绳绷紧时，取向下为正方向，根据动量守恒， mV₂－MV₁＝(M+m)V（2分）
得 （1分）
（3）要使两板共同速度V向下，由于为任意值，必须使M板反弹后在下落阶段绳子才拉直。
当M刚到达最高点时，细绳绷紧，此时绳长最小。
薄板M速度减为0的时间 （1分）
薄板M上升的最大高度 （1分）
这段时间内薄板m下降 （1分）
绳长 （1分）
当M下落到C处时，细绳绷紧，此时绳长最长。
当M落到C时，历时 （1分）
薄板m下降距离为 （1分）
综上可得，要使V向下，绳长应满足。（1分）