Question

12．如图，在xOy平面的y轴左侧存在沿y轴正方向的匀强电场，y轴右侧区域Ⅰ内存在磁感应强度大小B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$匀强磁场，区域Ⅰ、区域Ⅱ的宽度均为L，高度均为3L．质量为m、电荷量为+q的带电粒子从坐标为（-2L，-$\sqrt{2}$L）的A点以速度v₀沿+x方向射出，恰好经过坐标为[0，-（$\sqrt{2}$-1）L]的C点射入区域Ⅰ．粒子重力忽略不计．
（1）求匀强电场的电场强度大小E；
（2）求粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标；
（3）要使粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场，可在区域Ⅱ内加垂直纸面向内的匀强磁场．试确定磁感应强度B的大小范围，并说明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向．

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，将运动沿xy轴分解，根据动为学规律即可求解；
（2）由运动学公式求出粒子在C点竖直分速度，结合初速度可算出C点的速度大小与方向．当粒子进入磁场时，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可确定运动的半径．最后由几何关系可得出离开区域Ⅰ时的位置坐标；
（3）根据几何关系确定离开磁场的半径范围，再由半径公式可确定磁感应强度的范围及粒子离开区域Ⅱ时的速度方向．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动
则有：
   x轴方向：2L=v₀t
   y轴方向：$L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{2L}{{v}_{0}}）^{2}$
解得：$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$
（2）设带电粒子经C点时的竖直分速度为 v_y、速度为v
则有：${v}_{y}=\frac{qE}{m}t=\frac{qE}{m}\frac{2L}{{v}_{0}}={v}_{0}$
所以 $v=\sqrt{2}{v}_{0}$，
方向与x轴正向成45° 斜向上
当粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律，有${B}_{1}qv=m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
解得：$R=\sqrt{2}L$
由几何关系知，离开区域I时的位置坐标：x=L，y=0
（3）根据几何关系知，带电粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场的半径
满足$\frac{3}{4}L≤r≤L$
因$r=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
解得：$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}≤{B}_{2}≤\frac{4\sqrt{2}m{v}_{0}}{3qL}$
根据几何关系知，带电粒子离开磁场时速度方向与y轴正方向夹角30°≤θ≤90°．
答：
（1）求匀强电场的电场强度大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$；
（2）求粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标（L，0）；
（3）要使粒子从区域Ⅱ上边界离开磁场，可在区域Ⅱ内加垂直纸面向内的匀强磁场．则磁感应强度B的大小范围$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}≤{B}_{2}≤\frac{4\sqrt{2}m{v}_{0}}{3qL}$，而粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与y轴正方向夹角30°≤θ≤90°．

点评 本题涉及了类平抛运动、匀速圆周运动，学会处理这两运动的规律：类平抛运动强调运动的分解，匀速圆周运动强调几何关系确定半径与已知长度的关系．