Question

20．如图，在光滑水平桌面上，小物块P₁、P₂分别静止在A，B点，P₁的质量为2m，P₂的质量为m，长为l的细线一端固定在桌面上的O点、另一端系着P₂，开始时细线绷直且处于垂直于AB连线的方向上，细线能承受的最大拉力为F₀．光电计时器用来监控AB连线上的C点并可记录P₁、P₂通过C点的时间差，BC距离也为l，．现将一大小为$\frac{F_0}{2}$的水平恒力F作用在P₁上，P₁沿AB方向加速一段距离后撤去该力，之后P₁与P₂发生碰撞且碰后P₁总以碰前P₁的一半速度同向运动．
（1）若P₁、P₂碰撞时，细线恰好断裂，求恒力F作用过程P₁的位移L与l之间的关系．
（2）若P₁、P₂碰撞后，P₂先绕O点运动一周，在细线碰到OB中点O 处的钉子时细线恰好断裂，此后P₂沿BC方向飞出，求光电计时器记录到的时间差t．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出P₁碰撞前的速度表达式，结合动量守恒求出碰撞后P₂的速度，结合拉力提供向心力，求出恒力F作用过程P₁的位移L与l之间的关系．
（2）抓住绳子恰好断裂，根据牛顿第二定律求出速度的大小，根据动量守恒求出碰撞后P₂的速度，从而结合运动学公式求出光电计时器记录到的时间差t．

解答 解：（1）设碰撞前P₁的速度为v₀，碰撞后P₂的速度为v，碰撞过程中动量守恒，则
$2m{v}_{0}=2m\frac{{v}_{0}}{2}+mv$…①
若P₁P₂碰撞时，细线刚好断裂，则：
${F}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{l}$…②
根据动能定理有：$\frac{{F}_{0}}{2}L=\frac{1}{2}2m{{v}_{0}}^{2}$…③
联立①②③得，L=2l…④
（2）设碰撞前P₁的速度为v₀′，碰撞后P₂的速度为v′，碰撞过程动量守恒，则：
$2m{v}_{0}′=2m\frac{{v}_{0}′}{2}+mv′$…⑤
细线碰到钉子O′时恰好断裂，则：
${F}_{0}=m\frac{v{′}^{2}}{\frac{l}{2}}$…⑥
解得：$v′=\sqrt{\frac{{F}_{0}l}{2m}}$…⑦
P₂绕O做匀速圆周运动的周期为：T=$\frac{2πl}{v′}$…⑧
由题意可知：t=$T+\frac{l}{v′}-\frac{l}{\frac{{v}_{0}′}{2}}$…⑨
由⑤⑦⑧⑨解得：t=$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．
答：（1）恒力F作用过程P₁的位移L与l之间的关系为L=2l．
（2）光电计时器记录到的时间差为$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．

点评 本题考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律的综合运用，综合性较强，对学生要求较高，关键理清物体的运动规律，确定好研究的对象，选择合适的规律进行求解．