Question

20．在真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场．若将一个质量为m、带正电电量q的小球在此电场中由静止释放，小球将沿与竖直方向夹角为37°的直线运动．现将该小球从电场中某点以初速度v₀竖直向上抛出，求运动过程中（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）小球受到的电场力的大小及方向；
（2）小球运动从抛出点至最高点之间的电势差U．
（3）小球最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球在此电场中由静止释放，小球将沿与竖直方向夹角为37°的直线运动，可知小球的合力沿与竖直方向夹角为37°的直线方向，即可得到重力与电场力的关系，用几何关系求解．
（2）电势差U=Ed，其中d为沿电场方向的距离，小球抛出后，由运动的分解知识可知，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀减速运动，由运动学方程求解即可．
（3）分别列式水平和竖直两个方向分速度与时间的关系式，得到合速度与时间的关系，运用数学知识求解最小速度．

解答 解：（1）根据题设条件，电场力大小：F=mgtan37°=$\frac{3}{4}mg$
依据正电荷受到电场力与电场强度方向相同，因此小球受到的电场力水平向右．
（2）小球沿竖直方向做初速为v₀的匀减速运动，到最高点的时间为t，则：
由v_y=v₀-gt=0，
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$
沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为a_x；
那么a_x=$\frac{F}{m}$=$\frac{3}{4}g$
此过程小球沿电场方向位移为：s_x=$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8g}$
小球上升到最高点的过程中，电场力做功为：
W=qU=FS_x=$\frac{9}{32}m{v}_{0}^{2}$
U=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$                                
（3）水平速度v_x=a_xt，
竖直速度v_y=v₀-gt
小球的速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
由以上各式得出$\frac{25}{16}{g}^{2}{t}^{2}$-2v₀gt+（v${\;}_{0}^{2}$-v²）=0 
解得当t=$\frac{16{v}_{0}}{25g}$时，v有最小值，v_min=$\frac{3}{5}{v}_{0}$
此时v_x=$\frac{16}{25}{v}_{0}$•v_y=$\frac{9}{25}{v}_{0}$
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{3}{4}$，即与电场方向夹角为37°斜向上．
 答：（1）小球受到的电场力的大小$\frac{3}{4}mg$及方向水平向右；
（2）小球运动从抛出点至最高点之间的电势差$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{32q}$．
（3）小球最小速度的大小$\frac{3}{5}{v}_{0}$和方向与电场方向夹角为37°斜向上．

点评 本题的突破口是“小球在此电场中由静止释放，小球将沿与竖直方向夹角为53°的直线运动”，对于曲线运动问题，用运动分解的办法，运用函数法求解最小速度．