Question

如图所示为某钢铁厂的钢轨传送装置，斜坡长为L=20m，高为h=2m，斜坡上紧排着一排滚筒．长为l=8m、质量为m=1×10³ kg的钢轨ab放在滚筒上，钢轨与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢轨沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v=4m/s．假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢轨对滚筒的总压力近似等于钢轨的重力．取当地的重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间；
（2）钢轨从坡底（如图示位置）从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

Answer 1

（1）分析可知，欲使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则钢轨先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动．钢轨开始受到的滑动摩擦力为：
f₁=μmg=3×10³ N
根据牛顿第二定律  f₁-mg sinα=ma₁
解得：a₁=2 m/s²
钢轨开始做匀加速运动的时间为  t₁=

v

a1

=2 s
位移为  s₁=

1

2

a₁t₁²=4 m
钢轨做匀速直线运动的位移为 s₂=L-l-s₁=8 m
做匀速直线运动的时间为 t₂=

s2

v

=2 s
所需的最短时间为 t=t₁+t₂=4 s
（2）欲使电动机工作的时间最短，钢轨的最后一段运动要关闭电动机，钢轨匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零．
根据牛顿第二定律 f₁+mg sinα=ma₂
匀减速运动的加速度大小为 a₂=4 m/s²
历时 t₃=

v

a2

=1s
位移为s₃=vt₃-

1

2

a₂t₃²=2 m
电动机至少要工作的时间为t4=t1+

L-l-S1-S3

v

=3.5s
答：（1）钢轨从坡底从静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间为4s；
（2）钢轨从坡底从静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作3.5s时间？