Question

2．轻质弹簧原长为2R，将弹簧竖直放置在地面上，将一质量为6m的物体置于弹簧的顶端由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为R．现将该弹簧放置在倾角为37⁰的斜面轨道AC上，一端固定在斜面下端挡板上的A点，另一端与物块P接触但不连接．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=6R，A、B、C、D均在同一竖直面内．用外力推动物块P，将弹簧压缩长度R后，此时物块P位于B处，如图所示．撤去外力释放物块P，P开始沿轨道运动，重力加速度为g，物块P与BC间的动摩擦因数μ=0.5．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）若物块P的质量为m，求物块P到达C点时速度的大小；
（2）改变物块P的质量，再用外力将物块P仍推至B 点，静止释放后，若物块 P沿轨道运动至圆弧的最高点D处水平飞出后，恰好通过与C在同一水平高度上的E点，E点与C点水平相距$\frac{21}{5}$R，求物块P运动到D点时速度的大小及改变后物块P的质量．

Answer 1

分析 （1）将6m的物体置于弹簧的顶端由静止释放，由系统的机械能守恒求出弹簧的弹性势能．若物块P的质量为m，在外力作用下，P将弹簧压缩长度R时，弹簧的弹性势能不变．P由B到达C点，运用动能定理求物块P到达C点时速度的大小．
（2）P由D到达E点作平抛运动，由平抛运动下降的高度和水平位移大小结合求出物块P运动到D点时速度．P由B到达D点，运用动能定理求改变后物块P的质量．

解答 解：（1）6m的物体置于弹簧的顶端由静止释放，由机械能守恒得弹簧的弹性势能为：E_P=6mgR     
P由B到达C点，由动能定理有：W_弹-mg$\overline{BC}$sin37°-μmgcos37°•$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
由功能关系有：W_弹=E_P
得：v_C=$\sqrt{2gR}$            
（2）P由D到达E点作平抛运动，有：
R+Rcos37°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$           
$\overline{EC}$-Rsin37°=v_Dt                                 
解得：v_D=$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$                                            
P由B到达D点，由动能定理有：
W_弹-m′g$\overline{BC}$sin37°-μm′gcos37°•$\overline{BC}$-m′g（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$-0
解得：m′=$\frac{30}{43}$m
答：（1）若物块P的质量为m，物块P到达C点时速度的大小是$\sqrt{2gR}$：
（2）物块P运动到D点时速度的大小是$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$，改变后物块P的质量是$\frac{30}{43}$m．

点评 本题要分析清楚物体的运动情况，抓住弹簧的弹性势能与形变量有关，对于两种情况，要抓住弹性势能相等．对动能定理的运用，要选择研究过程，分析哪些力对物体做功，进而确定合力的功或总功．