Question

2．有两个用特殊材料做成的两个物体A和B，质量都为m，它们之间存在一种相互作用，这个作用力F与它们间的距离x的关系为F=k（x₀-x），其中k、x₀为已知常数，当两者间距离x＜x₀时，这个作用表现为斥力，当x＞x₀时，这个作用表现为引力，当x=x₀时，作用力为零．现将物体B固定在水平地面上，再将A移到B的正上方，最终A能静止于B的正上方的某处，试求：（已知重力加速度大小为g）
（1）当A静止于B的正上方时，两者间的距离x₁多大；
（2）当A静止于B的正上方时，给A施加一个竖直向上的拉力T，使A向上做匀加直线运动，加速度大小为a，则经过多长时间，B开始离开地面；
（3）在（2）情形之下，通过计算，作出拉力T与A的位移△x的关系图象，并在图中标出初末位置的坐标．

Answer 1

分析 （1）当A静止于B的正上方时，其重力与斥力平衡，由平衡条件求解两者间的距离x₁．
（2）当B离开地面时，B受到A的引力等于B的重力，由F=ρ（x₀-x）求出AB间的距离，由位移公式求出运动时间．
（3）根据（2）中的特殊位置，利用牛顿第二定律求得拉力为△x数值，即可求得图象

解答 解：
（1）当A静止于B的正上方时，它一定是在重力和B的斥力作用下平衡，则有：
   mg=k（x₀-x₁）
解得：${x}_{1}={x}_{0}-\frac{mg}{k}$
（2）当B离开地面时，B受到A的引力等于B的重力，
即 mg=k（x₂-x₀）
故此时AB间的距离 ${x}_{2}=\frac{mg}{k}+{x}_{0}$
在A匀加速上升过程中：${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得 $t=2\sqrt{\frac{mg}{ka}}$
（3）在整个过程中拉力为T，则T+k（x₀-x）-mg=ma，解得T=mg+ma-k（x₀-x），当B开始向上加速运动时，此时的拉力T=ma
当B刚好脱离地面时，则$△x=\frac{2mg}{k}$，此时的拉力T=ma+2mg
故图象如图所示
答：（1）当A静止于B的正上方时，两者间的距离x₁为${x}_{0}-\frac{mg}{k}$；
（2）当A静止于B的正上方时，给A施加一个竖直向上的拉力T，使A向上做匀加直线运动，加速度大小为a，则经过$2\sqrt{\frac{mg}{ka}}$长时间，B开始离开地面；
（3）在（2）情形之下，通过计算，拉力T与A的位移△x的关系图象如图所示．

点评 本题首先要认真审题，读懂题意．对于变加速运动，不能匀变速运动的公式求速度，在第三问中，利用好牛顿第二定律求得表达式，抓住特殊位置即可解决