Question

如图所示，在区域Ⅰ(0≤x≤d)和区域Ⅱ(d≤x≤2d)内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q(q＞0)的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的；不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：

小题1:粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；
小题2:当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差．

Answer 1

小题1:
小题2:

(1)设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)，半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qv_aB＝m①
由几何关系得
∠PCP′＝θ②
R_a1＝③
式中，θ＝30°.
由①②③式得
v_a＝④
(2)设粒子a在Ⅱ内做圆周运动的圆心为O_a，半径为R_a2，射出点为P_a(图中未画出轨迹)，∠P′O_aP_a＝θ′＝2θ.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qv_a(2B)＝m⑤
由①⑤式得
R_a2＝⑥
C、P′和O_a三点共线，且由⑥式知O_a点必位于x＝d的平面上，由对称性知，P_a点与P′点纵坐标相同，即y_Pa＝R_a1cosθ＋h⑦
式中，h是C点的y坐标．
设b在Ⅰ中运动的轨道半径为R_b1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qB＝²⑧
设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为α.如果b没有飞出Ⅰ，则
＝⑨
＝⑩
式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而
T_a2＝
T_b1＝
由⑤⑧⑨⑩式得α＝30°
由①③⑧式可见，b没有飞出Ⅰ.P_b点的y坐标为
y_Pb＝R_b1cosα＋Ra₁－Rb₁＋h
由①③⑦⑧式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为y_Pa－y_Pb＝(－2)d