Question

13．如图，在光滑的水平地面上，质量为M=3.0kg的长木板A的左端，叠放着一个质量为m=1.0kg的小物块B（可视为质点），处于静止状态，小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.30．在木板A的左端正上方，用长为R=0.8m的不可伸长的轻绳将质量为m=1.0kg的小球C悬于固定点O点．现将小球C拉至上方使轻绳拉直且与水平方向成θ=30°角的位置由静止释放，到达O点的正下方时，小球C与B发生弹性碰撞，空气阻力不计，取g=10m/s²． 求：
（1）轻绳再次拉直绷紧前后瞬间小球C速度大小；
（2）小球C与小物块B碰撞前瞬间轻绳对小球的拉力大小；
（3）木板长度L至少为多大时，小物块才不会滑出木板？

Answer 1

分析 （1）轻绳再次拉直绷紧前，小球C的机械能守恒，由机械能守恒定律求出绳子绷紧前瞬间小球C的速度v₀．绳子绷紧瞬间，小球沿圆周切线方向的分速度为v₀cosθ．
（2）小球由a点运动到最低点b点过程中机械能守恒定律求出小球C与小物块B碰撞前瞬间的速度，在此瞬间，小球C由合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解拉力．
（3）C与B碰撞遵守动量守恒定律和能量守恒定律求出碰后两者的速度．再研究B在A上滑行的过程，由动量守恒定律和能量守恒定律求出木板的最小长度．

解答 解：（1）O到a过程，据机械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
轻绳被拉紧瞬间，沿绳方向的速度变为0，沿圆周切线方向的速度为 v_α=v₀cosθ=4×cos30°=2$\sqrt{3}$m/s
（2）小球由a点运动到最低点b点过程中，由机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{α}^{2}$+mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
设小球在最低点受到轻绳的拉力为F，据牛顿第二定律有
   F-mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$
 解得：F=3.5mg=35N
（3）小球与B碰撞过程中动量和机械能均守恒，取向右为正方向，则有
   mv_b=mv₁+mv₂ 
   $\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_b=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，碰撞后小球C与B交换速度
B在木板A上滑动过程，系统动量守恒，有
  mv₂=（m+M）v
B在木板A上滑动的过程中，由能量守恒定律得
   μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v² 　
联立解得 L=$\frac{M}{2μg（m+M）}$$（\sqrt{\frac{5gR}{2}}）^{2}$
代入数据解得 L=2.5m 
答：
（1）轻绳再次拉直绷紧前后瞬间小球C速度大小是2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球C与小物块B碰撞前瞬间轻绳对小球的拉力大小是35N；
（3）木板长度L至少为2.5m时，小物块才不会滑出木板．

点评 解决本题的关键要理清物体的运动情况，要知道绳子绷紧瞬间沿绳子方向的速度突然减至零．弹性碰撞过程遵守两大守恒：动量定律和机械能守恒，质量相等的两球发生弹性碰后会交换速度．