Question

12．某行星有一颗环绕它做匀速圆周运动的卫星，由天文系观测可知，卫星的运动周期为T，速度为v，卫星运动的轨道半径是行星半径的10倍，已知引力常量为G．求：
（1）该行星的质量M；
（2）该行星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合周期和轨道半径求出行星的质量．
（2）第一宇宙速度等于卫星贴近行星表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于行星的半径，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小

解答 解：（1）根据$v=\frac{2πr}{T}$，得$r=\frac{vT}{2π}$
卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{10}v$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}•\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$
（2）行星的半径$R=\frac{r}{10}=\frac{vT}{20π}$
根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{10}v$
答：（1）该行星的质量M为$\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$；
（2）该行星的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$为$\sqrt{10}v$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．