Question

过山车是游乐场中常见的设施．如图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，设AB=BC=CD=L，半径R₁=3.0m、R₂=2.0m、R₃=3.0m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以某一初速度沿轨道向右运动，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，圆形轨道是光滑的，圆形轨道间不相互重叠，条件满足可从第一圆轨道运动到第二、第三圆轨道．重力加速度取g=10m/s²，计算结果可用根式表示，试求：

（1）如果小球恰能通过第一个和第二个圆形轨道的最高点，两圆轨道间距L应是多少？

（2）如果L取第一问结果，保证小球在运动过程中不脱离第三个圆形轨道，求小球在A点的初速度满足的条件．

Answer 1

考点：  机械能守恒定律；向心力．

专题：  机械能守恒定律应用专题．

分析：  （1）小球恰好通过圆轨道最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过两个圆轨道最高点的速度，再由动能定理求L．

（2）小球在运动过程中不脱离第三个圆形轨道，有两种可能：一、小球在第三圆轨道中做完整的圆周运动．二、小球在下半圆内运动．根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，由动能定理求初速度的范围．

解答：  解：（1）设恰好通过第一圆轨道最高点速度为v₁，恰好通过第二圆轨道最高点速度为v₂，则有：

mg=m，

mg=m

小球由第一圆轨道最高点到第二圆轨道最高点过程有：

mg（2R₁﹣2R₂）﹣μmgL=

联立①②③得：L=5m

（2）要使小球不脱离第三圆轨道，应满足小球能通过第三圆轨道最高点，或满足通过第二圆轨道最高点并且在第三圆轨道上升的最大高度h≤R₃．

设初速度v₀=v₀₁时恰好通过第三圆轨道最高点，此时速度为v₃，则有：mg=m

由动能定理得：

﹣μmg（3L）﹣mg•2R₃=﹣

解得：v₀₁=10m/s

设初速度v₀=v₀₂时恰好通过第二圆轨道最高点，则有：

mg=m

由动能定理得：

﹣μmg（2L）﹣mg•2R₂=﹣

解得：v₀₂=10m/s

设初速度v₀=v₀₃时通过第二圆轨道最高点并恰好能上升到达第三圆轨道h=R₃处，则

﹣mgh﹣μmg（3L）=0﹣

解得：v₀₃=m/s

综上所述，要使小球不脱离第三圆轨道，应满足：v₀≥10m/s或10m/s≤v₀≤m/s．

答：（1）如果小球恰能通过第一个和第二个圆形轨道的最高点，两圆轨道间距L应是5m．

（2）小球在A点的初速度满足的条件是：v₀≥10m/s或10m/s≤v₀≤m/s．

点评：  本题综合运用了动能定理和牛顿第二定律，关键要把握竖直平面圆周运动最高点的临界条件，运用动能定理解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．