Question

11．如图所示，abcd为一矩形金属线框，其中ab=cd=L，ab边接有定值电阻R，cd边的质量为m，其他部分电阻和质量均不计，整个装置用两根绝缘轻弹簧悬挂起来．线框下方处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里．初始时刻，两根弹簧处于自然长度，给线框一竖直向下的初速度v₀，当cd边第一次运动到最下端的过程中，R产生的热量为Q，此过程cd边始终未离开磁场．已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 初始时刻cd边所受安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$-mg
• B． 线框中产生的最大感应电流大于$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
• C． cd边第一次达到最下端的时刻，两根弹簧的弹性势能总量大于$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2}$-Q
• D． 在cd边反复运动过程中，R中产生的电热最多为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 对cd棒受力分析，确定棒的运动形式，求解最大速度，再由E=BLv和I=$\frac{E}{R}$及F=BIL分别确定电流和安培力的大小，再由能量守恒定律确定能量关系．

解答 解：A、初始时刻时，棒的速度为v₀，由E=BLv=BLv₀，再由I=$\frac{E}{R}$及F=BIL，得cd 边所受安培力的大小 F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}}{R}$，故A错误；
B、cd棒开始运动后，对cd棒受力分析，受重力和安培力及弹簧弹力，无法确定重力和安培力的关系，当重力大于安培力时，由mg-$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}$-kx=ma，合力方向向下，可知导体棒可能先做加速度减小的加速运动，
故v₀不是速度的最大值，产生的感应电动势不是最大，感应电流不是最大，当重力小于安培力时，由 $\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}$+kx-mg=ma，合力方向向上，可知导体棒可能先做加速度减小的减速运动，速度v₀为最大值，线框中产生的最大感应电流大于等于 $\frac{BL{v}_{0}^{\;}}{R}$，故B正确；
C、cd边第一次到达最下端的时刻，由能量守恒定律可知，导体棒的动能和减少的重力势能转化为焦耳热及弹簧的弹性势能，即：mgh+$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$=E_p+Q，所以：E_P-mgh=$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$-Q，故弹簧弹性势能大于 $\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$-Q，故C正确；
D、在cd边反复运动过程中，可知最后棒静止在初始位置的下方，设弹簧的劲度系数为k，由mg=kx得：x=$\frac{mg}{k}$，由能量守恒定律可知，导体棒的动能和减少的重力势能转化为焦耳热及弹簧的弹性势能，弹性势能E_P=$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}}{2k}$，减少的重力势能为：mgh=$\frac{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}}{k}$，因重力势能大于弹性势能，根据mgh+$\frac{1}{2}$mv₀²=E_p+Q，可知热量应大于 $\frac{1}{2}$mv₀²，故D错误；
故选：BC．

点评 本题中弄清棒的运动形式及临界条件是关键，分别由能量守恒定律和电磁感应定律求解电流和安培力大小．