Question

15．如图，在弯槽的顶端以初速度V释放一个小球，小球的动能为E，当到达B点时，球的动能是$\frac{3}{4}$E，速度是U；当以初速度2V释放小球，当达到B点时（　　）

• A． 球的动能等于3$\frac{3}{4}$E
• B． 球的速度小于$\sqrt{5}$U
• C． 球的速度等于$\sqrt{5}$U
• D． 球的动能小于3$\frac{3}{4}$E

Answer 1

分析 小球的初速度增大后，经过圆轨道上同一点所需要的向心力增大，摩擦力增大，克服摩擦力做功增大，由动能定理列式分析．

解答 解：设两种情况下小球克服摩擦力做功分别为W_f和W_f′．A、B间的高度为h，小球的质量为m．第二种情况球到达B点的动能为E′．
第一种情况：根据动能定理得
  mgh-W_f=$\frac{3}{4}$E-E ①
第二种情况：根据动能定理得
  mgh-W_f′=E′-E₀，②
由题知，E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得 E₀=$\frac{1}{2}m（2v）^{2}$=4E ③
由于第二次小球的初速度大，经过圆轨道上同一点所需要的向心力增大，支持力增大，则所受的摩擦力增大，克服摩擦力做功增大，则有 W_f′＞W_f ④
由①②④解得 E′＜3$\frac{3}{4}$E，即达到B点时球的动能小于3$\frac{3}{4}$E．
据题 $\frac{3}{4}$E=$\frac{1}{2}m{U}^{2}$，E′=$\frac{1}{2}mU{′}^{2}$，可得 U′＜$\sqrt{5}$U，即达到B点时球的速度小于$\sqrt{5}$U．
故选：BD

点评 解决本题的关键要明确向心力增大时，球所受的摩擦力增大，克服摩擦力做功增大，由动能定理列式，进行半定量分析．