Question

11．如图所示，竖直平面内光滑圆轨道半径R=2m，从最低点A有一质量为m=1kg的小球开始运动，初速度v₀方向水平向右，重力加速度g取10m/s²，下列说法不正确的是（　　）

• A． 小球能到达最高点B的条件是v₀≥4$\sqrt{5}$m/s
• B． 若初速度v₀=5m/s，则运动过程中，小球一定不会脱离圆轨道
• C． 若初速度v₀=8m/s，则小球将在离A点2.8m高的位置离开圆轨道
• D． 若初速度v₀=8m/s，则小球离开圆轨道时的速度大小为2$\sqrt{2}$m/s

Answer 1

分析 当小球恰好到达最高点时，由重力提供向心力，此时速度最小，求出最小速度，再根据动能定理求出v₀的最小值，刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零，重力沿半径方向的分量提供向心力，根据向心力公式结合动能定理以及几何关系即可求解．

解答 解：A、当小球恰好到达最高点时，有mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，得小球能到达最高点B临界速度是 v_B=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
根据机械能守恒定律知，2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得v₀≥10m/s，故A错误；
B、若初速度v₀=5m/s，设小球上升高度为H，由机械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，H=1.25m＞R=2m，故小球将会左右摆动，一定不会离开轨道，故B正确；
CD、小球刚好脱离轨道时，对轨道的压力为0，重力沿半径方向的分力提供向心力，设重力与半径方向的夹角为θ，mgcosθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根据几何关系，cosθ=$\frac{h}{R}$，根据动能定理得，$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-mg（R+h），解得v=2$\sqrt{2}$m/s，h=0.8m，故离开圆轨道的位置离A点的距离为H=h+R=2.8m，故C、D正确．
本题选错误的，故选：A

点评 本题主要考查了向心力公式、动能定理的直接应用，知道小球到达最高点的条件，特别注意刚好脱离轨道时，轨道对小球的弹力为零．