Question

12．如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E=2×10⁶N/C和B₁=0.1T，极板的长度l=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$m，间距足够大．在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆心O位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径R=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$m．有一带正电的粒子以某速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，粒子的比荷$\frac{q}{π}$=2×10⁸C/kg．
（1）求粒子沿极板的中线飞入的初速度v₀；
（2）求圆形区域磁场的磁感应强度B₂的大小；
（3）在其他条件都不变的情况下，将极板间的磁场B₁撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁场，求圆形区域的圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）抓住粒子做匀速直线运动，根据洛伦兹力和电场力平衡求出粒子的初速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出粒子在磁场中运动的半径，结合半径公式求出磁感应强度的大小．
（3）粒子在板间做类平抛运动，离开极板后做匀速直线运动，由类平抛运动知识与匀速运动规律可以求出d需要满足的条件．

解答 解：（1）粒子在极板间做匀速直线运动，有：qv₀B₁=qE
代入数据解得：v₀=2×10⁷m/s．
（2）设粒子的初速度大小为v，粒子在极板间匀速直线运动，则：qvB₁=qE，
设粒子在圆形区域磁场中做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{r}$，
粒子运动轨迹如图所示，粒子速度方向偏转了60°，由数学知识可得：r=Rcot 30°，
解得：B₂=0.1T；
（3）撤去磁场B₁后粒子在极板间做平抛运动，设在板间运动时间为t，运动的加速度为a，
飞出电场时竖直方向的速度为v_y，速度的偏转角为θ，由牛顿第二定律得：qE=ma，
水平方向：l=vt，
竖直方向：v_y=at，
tan$θ=\frac{v_y}{v}$，
解得：tan$θ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即θ=30°，
设粒子飞出电场后速度恰好与圆形区域的边界相切时，圆心O离极板右边缘的水平距离为d，
如图所示
则$d=\frac{R}{sinθ}-\frac{1}{2}$，
解得：$d=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m
所以圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足$d＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m （或$d≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m ）．
答：（1）粒子的初速度v为2×10⁷m/s；
（2）圆形区域磁场的磁感应强度B₂的大小为0.1T；
（3）圆形区域的圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足的条件为$d＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m （或$d≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m ）．

点评 本题考查了带电粒子在电磁场中运动的相关问题，考查学生综合分析、解决物理问题能力．分析清楚粒子的运动过程，应用运动的合成与分解、平衡条件、牛顿运动定律、运动学公式即可正确解题．