Question

如图所示，在x轴上方有水平向左的匀强电场E₁，在x轴下方有竖直向上的匀强电场E₂，且E₁=E₂=5N/C，在图中虚线（虚线与y轴负方向成45°角）的右侧和x轴下方之间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=2T．有一长L=5

2

m的不可伸长的轻绳一端固定在第一象限内的O'点，另一端拴有一质量M=0.1kg、带电量q=+0.2C的小球，小球可绕O'点在竖直平面内转动，OO'间距为L，与x轴正方向成45°角．先将小球放在O'正上方且绳恰好伸直的位置处由静止释放，当小球进入磁场前瞬间绳子绷断．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球刚进入磁场区域时的速度．
（2）细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功．
（3）小球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上所用的时间及打在x轴上点的坐标．

Answer 1

分析：（1）小球由静止释放后，先沿电场力和重力的合力方向做匀加速直线运动，直到绳子绷直，绷直瞬间，小球沿绳子方向的速度突然减为零，以垂直于绳子方向的速度进入磁场．先由牛顿第二定律和运动学公式结合求出绳子绷紧前瞬间小球的速度，再将此速度分解得到垂直于绳子方向的分速度，由动能定理求解进入磁场时的速度．
（2）根据动能定理研究绳绷紧过程，求出细绳对小球的弹力所做的功．
（3）小球进入磁场后，由于qE₂=Mg，小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出半径和周期，根据圆心角，求出小球在磁场中运动的时间．

解答：解：（1）小球先做匀加速直线运动，直到绳子绷直，设绳绷紧前瞬间速度为v，绳子刚绷紧后小球速度大小为v₂，进入有磁场的区域时速度的大小为v₃，
则   v²=2ax    
而   F_合=

2

mg=ma
又小球运动的位移为  x=

2

L 
绳子绷紧后：v₂=vcos45°
由动能定理：Mg?

2

2

L-qE₁（L-

2

2

L）=

1

2

M

v

2 3

-

1

2

M

v

2 2

联立解得：v₃=10

2

m/s 
（2）设细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功为W，根据动能定理得
   W=

1

2

Mv

2 2

-

1

2

Mv2
解得，W=-5

2

J
（3）小球进入磁场后，由于qE₂=Mg，小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
  qv₃B=m

v 2 3

R

得 R=

Mv3

qB

=

5 2

2

m，T=

2πM

qB

=

π

2

s
小球在运动半周后以v₃出磁场，做匀速直线运动直到打到x轴上
匀速运动的时间t=

2R

v3

，小球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上运动的总时间
t_总=t+

T

2

=(0.5+

π

4

)S=1.3s
小球打到x轴上的位置坐标为（-10m，0）
答：
（1）小球刚进入磁场区域时的速度是10

2

m/s．
（2）细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功是-5

2

J．
（3）球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上所用的时间是1.3s，打在x轴上点的坐标为（-10m 0）．

点评：本题小球在复合场中运动，分析受力情况，确定其运动情况是关键，与常规问题不同的地方是绳子绷紧瞬间小球的速度突变，沿绳子方向的速度立即减至零．