Question

1．科学家发明一种新型的导体材料，该材料的电阻率为ρ₀，密度为ρ．该材料可制成圆柱形导体棒，且该棒很容易被均匀拉伸，拉伸和压缩过程中几乎不需要外力．假设有一质量为m的该材料的圆柱形导体棒长度为L．求：
（1）该导体的电阻R；
（2）若将该导体的两端与两光滑的不计电阻的轻金属环a、b相连接．两环又分别套在竖直平面内的不计电阻的两根导轨上．PM和PN长度相等且正立在绝缘的地面上．两导轨在P点相连成θ=60°且足够长．整个导轨平面内有垂直向里的匀强磁场磁感应强度为B．从图示位置释放该导体棒．当该棒下降h的高度时棒的速度为v．该时刻导体的加速度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据质量体积和密度之间的关系，先表示出导体的体积表达式，继而可得知导体的横截面积与成都的关系，再结合电阻定律，即可得知导体的电阻．
（2）根据几何关系，先求得棒下降h的高度时导体的长度，结合第一问的结果可得知此时的电阻，结合感应电动势和欧姆定律以及牛顿第二定律，即可求得此时的加速度．

解答 解：（1）圆柱形导体棒的体积为：V=$\frac{m}{ρ}$…①
圆柱形导体棒的横截面积为：s=$\frac{V}{L}$…②
圆柱形导体棒的电阻为：R=ρ₀$\frac{L}{s}$…③
联立①②③式得：R=$\frac{{ρ}_{0}ρ{L}^{2}}{m}$…④
（2）当该棒下降h的高度时，由几何关系可知棒的长度为L′=$\frac{2}{\sqrt{3}}h+L$如图所示，则结合④可得此时的电阻为：
R′=$\frac{{ρ}_{0}ρ（\frac{2}{\sqrt{3}}h+L）^{2}}{m}$…⑤
产生的感应电动势为：E=BL′v…⑥
电流为：I=$\frac{E}{R′}$…⑦
加速度为：a=$\frac{mg-BIL′}{m}$…⑧
联立⑤⑥⑦⑧得：a=g-$\frac{{B}^{2}v}{{ρ}_{0}ρ}$
答：（1）该导体的电阻R为$\frac{{ρ}_{0}ρ{L}^{2}}{m}$；
（2）当该棒下降h的高度时棒的速度为v．该时刻导体的加速度是g-$\frac{{B}^{2}v}{{ρ}_{0}ρ}$．

点评 该题考查到了电阻定律和感应电动势，首先要求学生要熟记电阻定律的表达式，知道导体的电阻与哪些因素有关，知道感应电动势的求解方法，在B、L、v互相垂直的情况下导体中产生的感应电动势的大小为E=BLv，该题还要求学生要有利用相关数学知识解决物理问题的能力．