Question

（2013?东莞一模）如图所示，在真空中，半径为d的虚线所围的圆形区域内只存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为d，板长为l．板
间存在匀强电场，两板间的电压为U₀．两板的中心线O₁O₂，与磁场区域的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，以速率v₀从圆周上的P点沿垂直于半径OO_l并指向圆心O的方向进入磁场，从圆周上的O₁点飞出磁场后沿两板的中心线O₁O₂射入匀强电场，从两板右端某处飞出．不计粒子所受重力．求
（1）磁场的磁感应强度B的大小
（2）粒子在磁场和电场中运动的总时间
（3）当粒子在电场中经过时间t=

l

2v0

时，突然改变两金属板带电性质，使电场反向，且两板间电压变为U₁，则粒子恰好能从O₂点飞出电场，求电压U₁和U₀的比值．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由几何知识得到轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度的大小；
（2）粒子运动

1

4

周期时间，求得周期，即可求出粒子在磁场中运动的时间；粒子在电场中做类平抛运动，平行板的方向做匀速直线运动，而水平方向位移大小为l，由t=

l

v0

求出时间，即可求出总时间；
（3）当粒子在电场中经过时间t=

l

2v0

时，使电场反向，要使粒子恰好能从O₂点飞出电场，在前t=

l

2v0

时间内，粒子在竖直方向先做匀加速直线运动，再在后t=

l

2v0

时间内，做等时间的匀减速直线运动，两段过程竖直方向的位移大小相等、方向相反，即总位移为零，根据牛顿第二定律求出加速度，根据位移关系和位移公式求得电压U₁和U₀的比值．

解答：解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律
      qv₀B=m

v 2 0

r

 由几何关系知  r=d        
所以  B=

mv0

qd

        
（2）粒子在磁场中运动的周期T=

2πm

qB

，
在磁场中运动时间为四分之一个周期，t1=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πl

2v0

．
粒子在电场中做类平抛运动，平行板的方向做匀速直线运动
则t₂=

l

v0

在电磁场中运动的总时间t_总=t₁+t₂=

πl+2l

2v0

（3）根据运动的独立性可知：粒子在竖直方向先做匀加速直线运动，再做等时间的匀减速直线运动，
第一阶段：a=

qU0

md

，s=

1

2

at2
第二阶段：a1=

qU1

md

，s₁=vt-

1

2

a1t2=at²-

1

2

a1t2
竖直方向总位移为零，s+s₁=0
所以解得  a₁=3a              
故U₁：U₀=3：1
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小是

mv0

qd

．
（2）粒子在磁场和电场中运动的总时间是

πl+2l

2v0

．
（3）电压U₁和U₀的比值是3：1．

点评：本题粒子在磁场中运动时，由几何知识求出轨迹半径是关键，在电场中分析两段位移的关系是关键．