Question

10．如图1所示，一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆规道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的，其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，在圆轨道的最低点C和最高点H各安装了一个压力传感器（图中未画出）．一个小物块以不同的初速度v₀从不同高度水平抛出，到A点时速度方向都恰好沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小物块的抛出点和A点的高度差h与v₀应满足的关系；
（2）若传感器测出小物体在轨道内侧最低点C和最高点H时对轨道的压力F_N随F_C变化的图线如图2所示，求小物块的质量m；
（3）要使从不同高度平抛的小物体从A点滑下进入圆轨道后都不脱离轨道而从水平轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径R应该满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）小物块被水平抛出后做平抛运动，到A点时速度方向都恰好沿AB方向，根据h求得到达A点时竖直分速度，再根据平行四边形定则求出竖直分速度和初速度的关系，即可求得h与v₀应满足的关系．
（2）小物块经过C点和H点时由合力提供向心力，由牛顿第二定律分别列式．结合机械能守恒定律，得到F_C与F_H的关系式，结合图象的信息求解小物块的质量m．
（3）小物块恰好通过圆轨道最高点时，由重力提供向心力．小物块从开始到圆轨道最高点的过程，运用动能定理列式，联立求解即可．

解答 解：（1）小物块被水平抛出后做平抛运动，到A点时有：
   v_y=$\sqrt{2gh}$
据题有 tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
所以有 h=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{32g}$
（2）根据向心力公式得：
在最低点C时有：F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
在最高点H时有：F_H+mg=m$\frac{{v}_{H}^{2}}{R}$
从C到H，由机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{H}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得  F_C-F_H=6mg
由图象可得 m=0.1kg
（3）当v₀=0时，轨道半径设为R₀．
小物块恰好通过圆轨道最高点时，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{0}}$
从抛出到H的过程，由动能定理得：
   mgLsin37°-μmgcos37°•L-mg•2R₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 R₀=0.16m
所以R≤0.16m
答：（1）小物块的抛出点和A点的高度差h与v₀应满足的关系是h=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{32g}$；
（2）小物块的质量m是0.1kg；
（3）竖直圆轨道的半径R应该满足的条件是R≤0.16m．

点评 此题要求分析清楚小物块的运动过程，把握每个过程和状态的物理规律，熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，根据物理规律得解析式来研究图象的物理意义．