Question

如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：

（1）小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力FN的大小；

（2）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长；

（3）若斜面已经满足（2）要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，系统因摩擦所产生的热量Q的大小。

Answer 1

 (1)小物体从E到C，由能量守恒得：

            ①

    在C点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝m，②

    联立①②解得FN＝12.4 N.

(2)从E→D→C→B→A过程，由动能定理得：

WG－Wf＝0，③

WG＝mg[(h＋Rcos37°)－LABsin 37°]，④

Wf＝μmgcos 37°·LAB，⑤

联立③④⑤解得LAB＝2.4 m.

(3)因为mgsin 37°>μmgcos 37°(或μ<tan 37°)，

所以，小物体不会停在斜面上．小物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，

从E点开始直至运动稳定，系统因摩擦所产生的热量，

Q＝ΔEp，⑥

ΔEp＝mg(h＋Rcos 37°)，⑦

联立⑥⑦解得Q＝4.8 J.