Question

5．如图所示，质量为m=0.2kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长L_A=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ₁=37°，θ₂=53°，g=10m/s²．求
（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
（2）求当ω=3rad/s时，小球的机械能．（以细杆静止时，小球平衡的位置为零势能点）

Answer 1

分析 （1）小球做圆周运动靠合力提供向心力，求出两个临界情况下的加速度，即根据牛顿第二定律求出B绳恰好拉直，但T_B=0时，细杆的转动角速度，当A绳恰好拉直，但T_A=0时，细杆的转动角速度，从而得出角速度的范围．
（2）当ω=3rad/s时，分别求出动能和重力势能，再求机械能．

解答 解：（1）当B绳恰好拉直，T_B=0时，细杆的转动角速度为ω₁，
则有：mgtan37°=mω²L_Asin37°
解得：ω₁=2.5rad/s                    
当A绳恰好拉直，T_A=0时，细杆的转动角速度为ω₂，
有：mgtan53°=mω²L_Asin37°
解得：ω₂=$\frac{10}{3}$rad/s≈3.3rad/s                   
要使两绳都拉紧2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s．
（2）以细杆静止时小球平衡的位置为零势能点，则小球的重力势能为：
E_P=mg（L_A-L_Acos37°）=0.8J
动能为：
E_k=$\frac{1}{2}m$（ωL_Asin37°）²=$\frac{1}{2}×0.2×（3×2×0.6）^{2}$J=1.296J
故小球的机械能为：E=E_P+E_k=2.096J
答：（1）当细杆转动的角速度ω在：2.5 rad/s＜ω＜3.3rad/s范围内，A、B两绳始终张紧．
（2）当ω=3rad/s时，小球的机械能是2.096J．

点评 解决本题的关键得出绳子拉直时的两种临界情况，结合牛顿第二定律进行求解，要明确小球做匀速圆周运动时由合力充当向心力．