Question

6．如图，一对表面粗糙的平行金属轨道竖直固定在水平地面上，轨道与地面绝缘，轨道顶端连接有一定值电阻R，在A₁A₂、A₃A₄区域内有垂直于轨道平面向里的匀强磁场，一水平金属杆CD通过两金属环套在轨道上，现使金属杆CD以某一初速度竖直向上运动，穿过磁场区域后继续上升到最高位置A₅A₆，然后落回到地面，此后不再运动，已知金属杆CD与轨道间的摩擦力大小恒为其重力的$\frac{1}{3}$倍，金属杆C向上运动经过A₁A₂和A₃A₄位置时，速度之比为2：1，A₃A₄与A₅A₆间的距离是A₁A₂与A₃A₄间的距离的n倍，金属杆CD向下运动刚进入磁场区域就做匀速运动，重力加速度为g，金属轨道与金属杆CD的电阻都忽略不计．求：
（1）金属杆CD向上，向下两次经过A₃A₄位置时的速度之比；
（2）金属杆CD向上运动经过A₁A₂刚进入磁场时的加速度大小；
（3）金属杆CD向上、向下两次经过磁场区域的过程中定值电阻R上产生的焦耳热之比．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出经过${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$向上的加速度，和下降时的加速度，由运动学公式求出金属杆CD向上，向下两次经过A₃A₄位置时的速度之比
（2）杆向上经过${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$时切割磁感线产生感应电动势，受到向下的安培力，根据牛顿第二定律列式，向下进入磁场做匀速运动受力平衡，结合（1），即可求出金属杆CD向上运动经过A₁A₂刚进入磁场时的加速度大小
（3）根据动能定理求出CD向上经过磁场区域过程中克服安培力做的功，下降过程匀速通过磁场，根据功的公式求出克服安培力做的功，两种情况下克服安培力做功之比即为定值电阻R上产生的焦耳热之比

解答 解：（1）设杆的质量为m，${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$与${A}_{5}^{\;}{A}_{6}^{\;}$间的距离为h，上升过程中的加速度大小为：
${a}_{1}^{\;}=\frac{mg+\frac{1}{3}mg}{m}=\frac{4}{3}g$
又$0-{v}_{1}^{2}=-2{a}_{1}^{\;}h$
则${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{8}{3}gh}$
下降过程中的加速度大小为${a}_{2}^{\;}=\frac{mg-\frac{1}{3}mg}{m}=\frac{2}{3}g$
又${v}_{2}^{2}-0=2{a}_{2}^{\;}h$
则${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$
则：${v}_{1}^{\;}：{v}_{2}^{\;}=\sqrt{2}：1$
（2）设杆的长度为l，杆向上运动经过${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$时的速度为${v}_{0}^{\;}$，切割产生的电动势
${E}_{1}^{\;}=Bl{v}_{0}^{\;}$
回路中的电流${I}_{1}^{\;}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{R}=\frac{Bl{v}_{0}^{\;}}{R}$
杆受到的安培力大小为${F}_{1}^{\;}=B{I}_{1}^{\;}l=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}}{R}$，方向竖直向下
杆向上运动经过${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$刚进入磁场时，由牛顿第二定律：$mg+\frac{1}{3}mg+{F}_{1}^{\;}=ma$
得$a=\frac{4}{3}g+\frac{{F}_{1}^{\;}}{m}$
由题意，杆下落进入磁场做匀速运动的速度为${v}_{2}^{\;}$，
切割产生的电动势${E}_{2}^{\;}=Bl{v}_{2}^{\;}$
此时回路中的电流${I}_{2}^{\;}=\frac{{E}_{2}^{\;}}{R}=\frac{Bl{v}_{2}^{\;}}{R}$
杆受到的安培力大小为${F}_{2}^{\;}=B{I}_{2}^{\;}l=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{2}^{\;}}{R}$
这一过程中杆受力平衡，即${F}_{2}^{\;}+\frac{1}{3}mg=mg$
可得${F}_{2}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{2}^{\;}}{R}=\frac{2}{3}mg$
由（1）问${v}_{1}^{\;}：{v}_{2}^{\;}=\sqrt{2}：1$，又${v}_{0}^{\;}=2{v}_{1}^{\;}$，可得${v}_{0}^{\;}=2\sqrt{2}{v}_{2}^{\;}$
代入可得$a=\frac{4+4\sqrt{2}}{3}g$
（3）设${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$与${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$间的距离为d，杆向上穿过磁场的过程中，由动能定理
$-mgd-\frac{1}{3}mgd+{W}_{安1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
杆过${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$后继续上升了nd，这一过程由动能定理
$-mgnd-\frac{1}{3}mgnd=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
则：${W}_{安1}^{\;}=-\frac{（12n-4）}{3}mgd$
杆下落过程中${W}_{安2}^{\;}=-{F}_{2}^{\;}d=-\frac{2}{3}mgd$
由功能关系有${Q}_{1}^{\;}：{Q}_{2}^{\;}=|{W}_{安1}^{\;}|：|{W}_{安2}^{\;}|$
即：${Q}_{1}^{\;}：{Q}_{2}^{\;}=6n-2$
答：（1）金属杆CD向上，向下两次经过A₃A₄位置时的速度之比$\sqrt{2}：1$；
（2）金属杆CD向上运动经过A₁A₂刚进入磁场时的加速度大小$\frac{4+4\sqrt{2}}{3}g$；
（3）金属杆CD向上、向下两次经过磁场区域的过程中定值电阻R上产生的焦耳热之比（6n-2）

点评 本题是电磁感应与力学和能量等知识的综合应用，根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况．考查分析和处理综合题的能力．