Question

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m₂、m₃…m_n…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′；
（2）若考虑重力的影响，求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁′．

Answer 1

分析：（1）雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离L后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁，此过程如果不计重力的影响则动量守恒，列出动量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度．
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，但是碰撞瞬间动量仍然守恒，则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动，碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得；

解答：解：（1）不计重力，全过程动量守恒，
     m₀v₀=m_nv′_n
解得：v′n=

m0

mn

v₀
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
  第一次碰撞前 v₁²=v₀²+2gl，v₁=

v02+2gl

  第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V₁′
  Vn′=

m0

mn

v₁=

m0

mn

v02+2gl

答：（1）若不计重力，第n次碰撞后雨滴的速度v_n′为

m0

mn

v₀；
（2）若考虑重力的影响，第1次碰撞前速度为

v02+2gl

，碰撞后雨滴的速度为

m0

mn

v02+2gl

．

点评：本题主要考查了动量守恒定律的直接应用，难度适中．